Новые подходы к анализу данных, измеренных по порядковым и номинальным шкалам

В последние годы как у нас в стране, так и за рубежом разработано довольно много математических методов, предназначенных для анализа дан­ных, полученных с помощью измерения по номинальным п порядковым шка­лам. Однако многие из них малознакомы широкому кругу социологов. В на­стоящем параграфе представлен краткий обзор таких методов. К сожалению, в силу сложности и большого объема материала нет возможности подробно изложить суть каждого метода и тем более описать конкретную методику его применения. Поэтому все излагаемое ниже можно рассматривать лишь как некоторое указание на то, к какой литературе необходимо обратиться для решения соответствующей задачи и какого рода вопросы необходимо поста; вить в этой связи перед математиком.

Наиболее распространенными задачами, при решении которых исследова­тель прибегает к помощи математических методов, являются задачи изучения связей между признаками, нахождения латентных переменных, классифи­кации объектов.

Рассмотрим задачу изучения связей между признаками. В предыдущем разделе этой главы уже рассматривались меры связи между номинальными признаками, основанные на анализе таблиц сопряженности. Определенного рода обобщением способов измерения таких связей с помощью критерия c² можно считать метод логлинейного анализа частотных таблиц. В отличие от упомянутых мер связи логлинейный анализ позволяет анализировать таблицы сопряженности любой размерности и проверять гипотезы о наличии сложных структур связи, состоящие из предположений о существовании связей внутри каждой из нескольких групп признаков одновременно. Принципы логлинейного анализа описаны в литературе достаточно подробно³¹.

В основе традиционных подходов к измерению связей между номинальны­ми признаками лежит представление о последней как об «интегральной», т. е. о связи между рассматриваемыми признаками «в целом» (при расчете меры связи учитываются одновременно все те значения, которые эти признаки мо­гут принимать). Однако такое понимание связи не является единственно возможным. Она может пониматься и как «локальная», т. е. как связь между отдельными значениями (одним или несколькими рассматриваемыми призна­ками). Наличие «интегральной» связи отнюдь не означает наличия «локаль­ной», и наоборот. Так, вывод об отсутствии «интегральной» связи между полом и курением (например, основанный на малой величине c²) может не под­твердиться на основе «локального» анализа той же таблицы данных: т. е. можно предположить, что свойство респондента «быть мужчиной» довольно жестко определяет то, что этот человек курит (свойство «быть женщиной» в этом смысле может быть не связано с курением).

В настоящее время разработан довольно широкий круг методов анализа описанных «локальных» связей. В литературе они часто называются метода­ми поиска детерминирующих комбинаций значений переменных (или взаимо­действий последних)³². Прежде чем подробнее пояснить суть задачи и подхо­ды к ее решению, введем некоторые обозначения.

Пусть изучается влияние каких-то I признаков (переменных), обозначае­мых ниже х₁, х₂, ..., x_i, па некоторый интересующий исследователя признак у. Признаки x₂, х_г, ..,, x_i будем называть независимыми переменными, а при­знак у — зависимой переменной. Поясним, что имеется в виду под задачей поиска детерминирующих комбинаций значений переменных.

Исследователь полагает, что рассматриваемые независимые признаки в определенной степени обусловливают тип поведения изучаемых объектов, проявляющийся в том, какие значения для того, или иного объекта может принимать зависимая переменная. Другими словами, выдвигается гипотеза о соответствующей детерминации (типа поведения сочетаниями значений не зависимых переменных).

Упомянутый тип поведения может пониматься по-разному. Например, его можно определить как указание вероятностей, с которыми объект, обладающий заданным сочетанием значений ж, имеет то или иное значение. В та­ком случае тип поведения фактически отождествляется с распределением зна­чений зависимого признака для объектов, имеющих рассматриваемый набор значений независимых признаков. Например, если при решении упомянутого (выше вопроса о связи пола респондента с привычкой к курению придем к выводу, что для мужчин вероятность иметь такую привычку равна 0,8, а не иметь ее — 0,2 и что для женщин аналогичные вероятности равны соответ­ственно 0,3 и 0,7, то будем иметь основания говорить о двух типах поведения респондентов, каждый из которых определяется полом последних.

Можно тип поведения отождествить со средним арифметическим множе­ства значений зависимой переменной для рассматриваемой совокупности объектов (в таком случае естественно предполагать, что значения у получены по интервальной шкале). Пусть, например, у — это время, затрачиваемое рес­пондентом в течение дня на чтение газет, х — пол респондента, х₂ — его обра­зование. Если в процессе исследования мы обнаружим, что мужчины с высшим образованием тратят на чтение газет в среднем 1,5 часа в день, а жен­щины с начальным образованием — 0,01 часа, то можно будет говорить о двух типах поведения респондентов, каждый из которых соответствующим образом связан с рассматриваемыми независимыми признаками.

Тип поведения объекта можно отождествить и с тем, что для этого объ­екта у принимает определенное значение. Подчеркнем, что в любом случав упомянутая выше гипотеза о детерминации не может означать предположе­ния о «жестком» определении значения по сочетанию значений х.

В соответствии с выдвинутой гипотезой исследователь ставит перед собой задачу выяснить, какие именно сочетания значений независимых признаков являются в интересующем его смысле детерминирующими (определяющими тип поведения объектов). Иногда к этому добавляется и задача выделения и числа независимых переменных подсовокупности признаков, наиболее инфор­мативных в том смысле, что по сочетанию именно их значений с наибольшей степенью уверенности можно судить о типе поведения объектов. В едином. Комплексе с этими задачами может решаться и задача выявления самих ти­пов поведения, свойственных объектам изучаемой совокупности. Именно соче­тание названных трех задач (может быть, без второй или третьей) и называ­ется задачей поиска детерминирующих комбинаций значений переменных.

В соответствии с тем, как понимается тип поведения объектов, должен формироваться критерий, является ли тот или иной набор сочетаний значений х детерминирующим это поведение. Многообразие" методов поиска детермини­рующих характеристик и объясняется в основном различием таких критериев.

Например, первому описанному выше пониманию типа поведения отвечает поиск такого разбиения исходной совокупности объектов (соответствующего определенному набору сочетаний значений х), что каждой выделенной подсо­вокупности будет соответствовать свое распределение значений у (степень различия распределений определяется в соответствии с известными статисти­ческими критериями). Искомые детерминирующие комбинации — это те на­боры сочетаний значений х, которые соответствуют выделенным подсовокупностям³³.

Второму пониманию типа поведения отвечает такое разбиение исход­ной совокупности объектов, при котором каждая подсовокупность будет иметь свое среднее арифметическое значение у (т. е. разница между соответствующими средними значениями будет статистически значима)³⁴. Отметим тесную связь такого подхода с, методами дисперсионного анализа, с помощью которого мож­но изучать влияние совокупности качественных признаков на некоторый количественный признак³⁵. Однако дисперсионный анализ предназначен для изучения «интегральных» связей. Он исходит из априори заданных групп объектов — каждая группа соответствует одному возможному сочетанию значений независимых переменных и позволяет проверить гипотезу о совпадении типов поведения этих групп (тип поведения в дисперсионном анализе пони­мается именно рассматриваемым образом). Описываемые же нами методы решают более широкую задачу — они позволяют проанализировать стой же точки зрения все возможные группы объектов, соответствующие тому или иному набору сочетаний значений независимых переменных.

Подчеркнем, что при использовании описанных подходов ищутся не толь­ко сочетания значений независимых переменных, определяющих некоторые типы поведения, но и сами эти типы.

Для иллюстрации одного из возможных подходов к поиску детерминирую­щих комбинаций значений переменных при третьем упомянутом выше пони­мании типа поведения дадим некоторые определения, введенные С. В. Чесноковым³⁶, и приведем пример из его же работы. Привлекательность методики поиска детерминирующих характеристик, предложенной этим автором, в том, что она по существу является формализацией рассуждений, наиболее часто использующихся социологом при практическом решении задач о статистиче­ской зависимости.

Рассмотрим случай, когда данные представлены таблицей 2 X 2, изучае­мые объекты — респонденты, признак хпринимает значения а и b, а признак у — значения с и d. Назовем типом поведения респондента соответствующее ему значение у и ниже будем говорить о детерминации значением а тина поведения с. Очевидно, считать, что такая детерминация действительно имеет место, можно только в том случае, если достаточно велика «степень уверен­ности» в реализации поведения с для объекта со значением а независимой переменной. Уточним смысл такой уверенности.

Назовем интенсивностью детерминации а®с величину I(а®с), равную доле респондентов, для которых у = с в группе респондентов, удовлетво­ряющих условию: х=а. Интенсивность детерминации означает точность вы­сказывания если а, то с. Назовем емкостью детерминации а®с величину с(а®с), равную доле респондентов, для которых х = а, в группе респондентов, удовлетворяющих условию у = с. Емкость детерминации измеряет долю случаев реализации поведения с, которая «объясняется» высказыванием «из а следует с». Емкость с(а®с) отражает, насколько всеобъемлюще объяснение, по­строенное на детерминации а®с, т. е. полноту этой детерминации.

Для обоснованности выводов о том, что «а влечет с», недостаточно знать, необходимо оценить и С.

Пример. Пусть х — пол (а — мужчина, b — женщина), а у — величина зарплаты (с — высокая, d — низкая). Предположим, что частотная таблица имеет вид

На основании того, что 70% мужчин имеют высокую зарплату, мы не можем говорить, что под детерминирует величину зарплаты. Для этого выво­да необходимо еще оценить, какова доля мужчин среди лиц с высокой зар­платой. Например, если этот процент равен /, то сформулированный вывод вряд ли можно считать справедливым. Полученные же в рассматриваемом примере 40% могут способствовать обоснованию этого вывода, если исследо­ватель сочтёт этот процент достаточно высоким.

Показатели, аналогичные введенным величинам I и С, легко можно оп­ределить и для того случая, когда количество независимых признаков более одного.

Очевидно, в отличие от тех ситуаций, когда тип понимается одним из двух описанных выше способов, в данном случае мы не выявляем типы по­ведения в процессе нахождения детерминирующих сочетаний. Такая задача решается отдельно для каждого значения зависимой, .переменной: фиксируя это значение (т.е. тип поведения), мы ищем такие сочетания значений не­зависимых переменных, которые определяют его с достаточно высокими зна­чениями I и С (смысл выражения «достаточно высокие» определяется иссле­дователем).

Наряду с методами поиска детерминирующих комбинаций значений пе­ременных разработаны подходы к выявлению связей между номинальными признаками, аналогичные методам регрессионного анализа. В последнее деся­тилетие был предложен ряд подходов к решению этого вопроса³⁷. Опишем один из них.

Прежде всего заметим, что если все рассматриваемые переменные ди­хотомические, то, применяя к исходным данным технику обычного регрес­сионного анализа, будем получать содержательно интерпретируемые резуль­таты³⁸. Это связано с тем, что дихотомическую шкалу можно считать частным случаем интервальной. Приведем пример вычисления регрессионной зависимости между номинальными переменными, в котором реализуется метод, основанный на сделанном замечании.

Сначала каждая переменная, принимающая I значений, заменяется на I фиктивных дихотомических переменных: каждому исходному значению соответствует своя дихотомическая переменная.

Пусть X₁ и Х₂—исходные независимые номинальные переменные, при­нимающие каждая три значения — 1, 2, 3. Через х₁, х₂, x₃, x₄, x₅, x₆ обозначим вводимые фиктивные переменные (x₁, х₂, х₃ соответствуют переменной Х₁ а х₄, х₅, х₆ — Х₂). Значения, принимаемые фиктивными переменными, можно понять из следующей таблицы, где приведены значения X1 и X2 для некото­рых трех объектов.

К полученным фиктивным переменным применяется обычная техника регрессионного анализа. Причем, поскольку зависимая переменная также заменена на k фиктивных переменных (если она принимает k значений), вме­сто одного уравнения рассчитывается k уравнений: для каждой упомянутой фиктивной переменной строится свое уравнение регрессии. Для оценивания влияния независимых переменных на зависимую в целом (а не на отдельные соответствующие ей фиктивные переменные) служит комплекс различных коэффициентов.

Аналогичный подход можно использовать и в случае, если зависимая

переменная получена по интервальной шкале³⁹. Как уже отмечалось, помимо задачи анализа связей между переменными, довольно актуальными для социологии являются также задачи нахождения латентных переменных и классификации объектов. Правда, эти задачи очень часто можно рассматривать как частный случай задачи изучения связей: ла­тентные факторы обычно находятся именно на основе анализа связей между наблюдаемыми признаками, а для осуществления классификации, как пра­вило, анализируются связи между объектами. Но тем не менее названные задачи имеют и свою специфику, обусловленную их ролью в изучении инте­ресующих социолога вопросов. Это обусловливает и определенную специфику соответствующих математических методов. Поэтому имеет смысл сказать несколько слов о путях решения обеих задач, когда изучаемые объекты харак­теризуются значениями номинальных или порядковых признаков⁴⁰.

Поиск латентных переменных может осуществляться с помощью методов латентно-структурного анализа. Кроме того, возможны различные подходы к использованию традиционных методов факторного анализа для анализа данных, полученных по порядковой и номинальной шкалам⁴¹.

Основная проблема, встающая перед исследователем, желающим приме­нить математические методы классификации к объектам, заданным значения­ми номинальных и порядковых признаков,— это проблема выбора меры бли­зости между этими объектами. Большинство традиционных мер рассчитано на признаки, измеренные по интервальной шкале. Однако известны и такие меры, которые могут быть применены в интересующем нас случае. Выбор подходящей меры близости обеспечивает возможность использования многих методов классификации⁴².

Далее рассмотрим несколько разработанных советскими авторами общих подходов к задаче анализа качественных данных.

Первый подход предложен Г. С. Лбовым⁴³. Автор предполагает, что ис­ходные признаки могут быть измерены по любой шкале, и следующим обра­зом вводит понятие логического высказывания, являющегося основным во всех предложенных им алгоритмах.

Если признак Хi измерен по номинальной шкале и а¹_i, а²_i, ..., a^l_i— его значения, то назовем элементарным высказыванием выражение вида x_i= = а^j_i (j=1, ..., р). Если признак x_i измерен по шкале, тип которой не ниже порядковой шкалы, b и с — произвольные его возможные значения и b < с, то назовем элементарным высказыванием выражение вида b < х_i < с.

Приведем пример логической закономерности. Пусть х₁ — пол, принимаю­щий два значения: 0 (мужчина) и 1 (женщина); х_г — удовлетворенность респондента своей работой, измеренная по порядковой шкале с градациями 1 ..., 5; x₃ — зарплата респондента, измеренная по шкале отношений (в руб.). Примером логического высказывания может служить выражение (х₁ = 0) Ç (3 < х₂ <=5) Ç (100 < x₃ <=120). Ясно, что каждое логическое вы­сказывание задает определенную область рассматриваемого признакового пространства.

Разработанный Г. С. Лбовым подход к анализу исходных данных, полу­ченных по разным шкалам, с успехом позволяет решать задачи, подобные описанным выше задачам поиска детерминирующих комбинаций значений признаков. А именно автор предлагает алгоритм, согласно которому при лю­бом разбиении исходной совокупности объектов па классы (это разбиение может быть осуществлено, в частности, в соответствии со значениями не­которого зависимого признака) для каждого такого класса может быть осу­ществлен поиск логических высказываний, выполняющихся (т. е. истинных) на принадлежащих ему объектах. Выполнение понимается в некотором статистическом смысле. Грубо говоря, выполнение высказывания для объектов какого-либо класса означает, что это высказывание истинно для большинства объектов этого класса.

Но тот же подход позволяет решать и гораздо более широкий круг встаю­щих перед социологом задач: задачу автоматической классификации исход­ных объектов (грубо говоря, в разные классы попадают объекты, для кото­рых выполняются разные логические высказывания); задачу построения ло­гических решающих правил, т. е. «границ» между классами, если задано, в какой класс каждый объект входит (такие правила также определяются в терминах логических высказываний); задачу динамического прогнозирования (алгоритм использует логические решающие правила), и т. д.

Второй подход разработан группой исследователей под руководством Б. Г. Миркина⁴⁴. Авторы этого подхода предлагают рассматривать каждый признак как некоторое отношение на множестве изучаемых объектов и зада­вать его в виде булевой матрицы, т. е. матрицы, элементы которой могут принимать только два значения, например 0 и 1. Приведем пример.

Пусть для некоторых четырех респондентов заданы значения признаков; пол (0 — мужчина, 1 — женщина) и профессия (принимающая значения 1, 2, 3, 4) и пусть соответствующая матрица «объект — признак» имеет вид

Тогда рассматриваемым признакам будут соответствовать следующие булевы матрицы:

На пересечении i-го столбца и j-й строки стоит единица, если значения рас­сматриваемых признаков для i-го и j-гообъектов совпадают, и 0 — в проти­воположном случае.

Авторы рассматриваемого подхода предлагают основанные на использо­вании описанного способа представления исходных данных методы решения широкого круга задач, в том числе и социологических: классификация объ­ектов, изучение связей между признаками, выявление латентных переменных и т. д. Например, в качестве латентного фактора, объясняющего связи между несколькими исходными признаками, заданными матрицами, подобны­ми описанным выше, будет выступать признак, заданный матрицей, в опре­деленном смысле близкой ко всем исходным матрицам одновременно (пер­вым шагом решения соответствующей задачи будет поиск таких групп ис­ходных матриц, для каждой из которых подобную «среднюю» матрицу можно найти).

Интересный подход к анализу структуры связей между рассматривае­мыми переменными в тех случаях, когда эти переменные измерены по произ­вольным шкалам, предложен Ю. Н. Гаврильцом⁴⁵. Этот подход позволяет учи­тывать, что связь может быть прямой и опосредованной, тесной и слабой и т. д., что изменение значений части признаков может менять характер распределения у другой части признаков, в то время, как распределение третьей части признаков остается прежним. Основные принципы представле­ния исходной информации, лежащие в основе этого подхода, являются слиш­ком сложными для того, чтобы их можно было сформулировать в настоя­щем параграфе.

Последний подход к анализу информации, полученной по номинальной или порядковой шкале, о котором нам хотелось бы упомянуть,— это так называемая метризация используемых шкал («Оцифровка» значений признаков). Это — приписывание исходным шкальным значениям таких «меток», чисел, что отношения между получающимися интервалами начинают иметь содержательный смысл. К настоящему времени разработано довольно много способов такого превращения номинально» либо порядковой шкалы в интер­вальную⁴⁶. Однако использовать их надо с большой осторожностью, по­скольку каждый из этих способов предполагает довольно сильные и часто трудно проверяемые свойства исходных шкальных значений (эти предполо­жения могут быть как содержательными, так и формальными).

В заключение настоящего раздела отметим, что большинство описанных в этой главе методов реализовано в имеющихся в различных научных цен­трах нашей страны комплексах программ для ЕС ЭВМ. Методы дискриптивной статистики, вычисления всевозможных мер связи, методы регрессионного анализа и другие методы многомерного статистического анализа, в том числе методы поиска детерминирующих характеристик значений независимых при­знаков, реализованы в системе «Социолог», применяемой в ИСИ АН СССР. Алгоритм поиска детерминационных характеристик, основанный на методе С. В. Чеснокова, представлен в системе, разработанной во ВНИИ системных исследований ГКНТ и АН СССР. Упомянутые выше алгоритмы, предложен­ные Г. С. Лбовым, реализованы в пакете программ ОТЕКС Института мате­матики СО АН СССР.

Литература для дополнительного чтения

Вайнберг Дж.,Шумекер Дж. Статистика. М.: Статистика,1979.389 с.

Гласе Дж., Стэнли Дж. Статистические методы в педагогике и психологии. М.: Прогресс, 1976. 495 с.

Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975.648 с.

Лбов Г. С. Методы обработки разнотипных экспериментальных данных. Но­восибирск: Наука, 1981. 160 с.

Математические методы в социологическом исследовании Отв. ред. Т. В. Рябушкин и др. М.: Наука, 1981. 332 с.

Миркин Б. Г. Анализ качественных признаков и структур. М.: Статистика, 1980. 166 с.

Елисеева И. И., Рукавишников В. О. Группировка, корреляция, распознавание образов. М.: Статистика, 1977. 144 с.

Рунион Р. Справочник по непараметрической статистике. М.: Финансы и ста­тистика, 1982. 198 с.

Рябушкин Т, В. Теория и методы экономической, статистики. М.: Наука, 1977. 511 с.

Статистические методы анализа информации в социологических исследованиях Отв. ред. Г. В. Осипов и др. М.: Наука, 1979. 319 с.

Типология и классификация в социологических . исследованиях Отв. ред.

В. Г. Андреенков, Ю. Н. Толстова, М.: Наука, 1982. 296 с.

Тюрин Ю. Н. Непараметрические методы статистики. М.: Знание, 1978. 62 с.