Метод Ньютона

Пусть уравнение имеет один корень на отрезке [a; b], причем и определены, непрерывны и сохраняют постоянные знаки на отрезке [a; b].

Выберем на отрезке[a; b] произвольную точку х₀ – нулевое приближение. Затем найдем:

,

потом

Таким образом, процесс нахождения корня уравнения сводится к вычислению чисел x_n по формуле:

n = 1, 2, 3.....

Этот процесс называется методом Ньютона.

Процесс вычисления продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие:

,

где – заданная абсолютная погрешность корня х.

Точку х₀ необходимо выбирать так, чтобы выполнялось условие:

,

иначе метод не будет сходиться.

Метод половинного деления

Пусть уравнение имеет один корень на отрезке [a, b]. Функция непрерывна на отрезке [a, b].

Метод половинного деления заключается в следующем:

Сначала выбираем начальное приближение, деля отрезок пополам, т.е.

.

Если , то x₀ является корнем уравнения. Если , то выбираем тот из отрезков, на концах которого функция имеет противоположные знаки. Полученный отрезок снова делим пополам и выполняем действия сначала и т.д.

Процесс деления отрезка продолжаем до тех пор, пока длина отрезка, на концах которого функция имеет противоположные знаки, не будет меньше заданной точности e, т.е. пока не будет выполняться условие:

.