Колебательном контуре
Среди различных электрических явлений особое место занимают электромагнитные колебания, при которых электрические величины (заряды, токи) периодически изменяются и которые сопровождаются взаимными превращениями электрического и магнитного полей. Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний используется колебательный контур — цепь, состоящая из включенных последовательно катушки индуктивностью L, конденсатора емкостью Си резистора сопротивлением R.
Рассмотрим последовательные стадии колебательного процесса в идеализированном контуре, сопротивление которого пренебрежимо мало (R » 0). Для возбуждения в контуре колебаний конденсатор предварительно заряжают, сообщая его обкладкам заряды ±Q.Тогда в начальный момент времени t = 0 (рис. 202, а) между обкладками конденсатора возникнет электрическое поле, энергия которого — (см. (95.4)). Если замкнуть конденсатор на катушку индуктивности, он начнет разряжаться, и в контуре потечет возрастающий со временем ток I. В результате энергия электрического поля будет уменьшаться, а энергия магнитного поля катушки (она равна 1/2 LQ2)— возрастать.
Рис. 202
Так как R » 0, то, согласно закону сохранения энергии, полная энергия
так как она на нагревание не расходуется. Поэтому в момент t = 1/4Т,когда конденсатор полностью разрядится, энергия электрического поля обращается в нуль, а энергия магнитного поля (а следовательно, и ток) достигает наибольшего значения (рис. 202, б). Начиная с этого момента ток в контуре будет убывать; следовательно, начнет ослабевать магнитное поле катушки, и в ней индуцируется ток, который течет (согласно правилу Ленца) в том же направлении, что и ток разрядки конденсатора. Конденсатор начнет перезаряжаться, возникнет электрическое поле, стремящееся осла бить ток, который в конце концов обратится в нуль, а заряд на обкладках конденсатора достигнет максимума (рис. 202, в). Далее те же процессы начнут протекать в обратном направлении (рис. 202, г)и система к моменту времени t = T придет в первоначальное состояние (рис. 202, а). После этого начнется повторение рассмотренного цикла разрядки и зарядки конденсатора. Если бы потерь энергии не было, то в контуре совершались бы периодические незатухающие колебания, т. е. периодически изменялись (колебались) бы заряд Qна обкладках конденсатора, напряжение U на конденсаторе и сила тока I, текущего через катушку индуктивности. Следовательно, в контуре возникают электрические колебания, причем колебания сопровождаются превращениями энергий электрического и магнитного полей.
Электрические колебания в колебательном контуре можно сопоставить с механическими колебаниями маятника (рис. 202 внизу), сопровождающимися взаимными превращениями потенциальной и кинетической энергий маятника. В данном случае энергия электрического поля конденсатора (Q2/(2C))аналогична потенциальной энергии маятника, энергия магнитного поля катушки (LQ2/2) — кинетической энергии, сила тока в контуре — скорости движения маятника. Индуктивность L играет роль массы m, а сопротивление контура — роль силы трения, действующей на маятник.
Согласно закону Ома, для контура, содержащего катушку индуктивностью L, конденсатор емкостью Си резистор сопротивлением R,
где IR — напряжение на резисторе, UC = Q/C— напряжение на конденсаторе, ℰs = - э.д.с. самоиндукции, возникающая в катушке при протекании в ней переменного тока (ℰs — единственная э.д.с. в контуре). Следовательно,
(143.1)
Разделив (143.1) на L и подставив и ̈, получим дифференциальное уравнение колебаний заряда Qв контуре:
(143.2)
В данном колебательном контуре внешние э.д.с. отсутствуют, поэтому рассматриваемые колебания представляют собой свободные колебания (см. § 140). Если со противление R = Q,то свободные электромагнитные колебания в контуре являются гармоническими. Тогда из (143.2) получим дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний заряда в контуре:
Из выражений (142.1) и (140.1) вытекает, что заряд Qсовершает гармонические колебания по закону
(143.3)
где Qm — амплитуда колебаний заряда конденсатора с циклической частотой w0, называемой собственной частотой контура, т. е.
(143.4) (143.5)
Формула (143.5) впервые было получена У. Томсоном и называется формулой Томсона. Сила тока в колебательном контуре (см. (140.4))
(143.7)
где Um = Qm/C— амплитуда напряжения.
Из выражений (143.3) и (143.6) вытекает, что колебания тока / опережают по фазе колебания заряда Qна p/2, т. е., когда ток достигает максимального значения, заряд (а также и напряжение (см. (143.7)) обращается в нуль, и наоборот.
Дата добавления: 2015-02-13; просмотров: 827;