Это колебания с амплитудой, изменяюшейся по закону

Амплитуда =

2. Сложение двух взаимно-перпендикулярных гармонических колебаний с равными частотами.

Пусть материальная точка участвует одновременно в двух взаимно-перпендикулярных колебаниях ( вдоль оси Х и оси Y) с одинаковой частотой w, выраженных уравнениями.:

, (2)

где x и y - смещения точки вдоль осей X и Y от положения равновесия в данный момент времени; А и В - амплитуды первого и второго колебаний; j₁ и j₂ - начальные фазы колебаний (j₁ = 0), w - циклическая частота. Начало отсчета выбрано так, чтобы начальная фаза первого колебаний равнялась нулю.

Для нахождения уравнения траектории движения точки нужно исключить параметр t . Для этого запишем уравнения (2) в виде:

(3)

(4)

Умножая уравнение (3) на Cos j₂, а (4) на (- Cosj₁), и складывая их, получим:

или

(5)

Теперь умножим уравнение (3) на Sin j₂, а (4) на (-Sin j₁) и сложим их;

(6)

или

(7)

Возведем в квадрат уравнения (5) и (7) и сложим их почленно. После преобразований получим уравнение траектории:

(8)

Это уравнение представляет уравнение эллипса, характеристики которого определяются значением разности фаз Dj = j. Следовательно, в результате сложения двух взаимно-перпендикулярных синхронных колебаний получается колебание, при котором точка движется по эллипсу (рис.3).

Y

2B X

2A

Рис. 3

Рассмотрим несколько частных случаев сложения колебаний:

1. Если разность фаз складываемых колебаний кратна четному числу p, т.е. Dj = ± 2np, где n = 0, 1, 2, ..., то складываемые колебания будут находиться в одинаковой фазе и уравнение траектории (8) в этом случае имеет вид:

, или ,

откуда

.

Это уравнение прямой, идущей по первому и третьему квадрантам. Материальная точка совершает колебания вдоль этой прямой (рис. 4а). Колебания, удовлетворяющие условию j₁-j₂=±2np называются синфазными.

2. Если разность фаз складываемых колебаний равна нечетному числу p , т.е. j₁-j₂ = ±(2n + 1)p, где n = 0, 1, 2, ..., то складываемые колебания будут находиться в противофазе и уравнение (8) переходит в уравнение:

, откуда т.е. .

В этом случае точка колеблется по прямой, идущей по второму и четвертому квадрантам (рис.4б).

3. Если разность фаз складываемых колебаний равна: , то уравнение (8) превращается в уравнение

Эго уравнение эллипса, для которого координатные оси являются главными осями. Точка движется по эллипсу по ходу часовой стрелки (рис. 4в).

Если амплитуды колебаний одинаковы, эллипс вырождается в окружность. Получаем колебание, поляризованное по кругу (рис. 4г).

4. Разность фаз равна:

Тогда уравнение (8) примет вид:

Точка будет двигаться по эллипсу против хода часовой стрелки (рис. 4д). При равенстве амплитуд эллипс снова вырождается в окружность (рис. 4е), т.е. вновь получаются колебания, поляризованные по кругу.

При промежуточных значениях разности фаз точка тоже будет двигаться по эллипсу, ориентация которого будет изменяться в соответствии с изменением разности фаз.

3. Сложение двух взаимно-перпендикулярных гармонических колебаний с кратными частотами.

Пусть точка участвует в двух взаимно-перпендикулярных колебаниях с кратными частотами:

x = ASin (mwt - j_m)

y = BSin (nwt - j_n) ,

где m и n - целые числа.

Траектория такого движения замкнута, так как x и y возвращаются к первоначальным значениям через время, равное периоду

Y Y Y

j j

X X X

а) б) в)

Y Y Y

г) д) е)

Рис. 4

(n - частота, в Гц)

Замкнутые траектории, описываемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно-перпендикулярных направлениях, называются фигурами Лиссажу.

Вид фигур Лиссажу зависит от соотношения между периодами (или частотами), фазами и амплитудами обоих колебаний. В простейшем случае равенства обоих периодов фигуры Лиссажу представляют собой эллипсы, которые, при разности фаз 0 или p вырождаются в отрезки прямых, а при разности фаз и равенстве амплитуд превращаются в окружность (рис. 4). Если периоды (или частоты) обоих колебаний не точно совпадают, то разность фаз все время меняется, вследствие чего эллипс все время деформируется. При существенно различных периодах (или частотах) эллипс деформируется быстро и картина размывается - фигуры Лиссажу не наблюдаются. Однако, если оба периода (или частоты) различны, но относятся как целые числа, то через промежуток времени, равный наименьшему кратному обоих периодов, движущаяся точка снова возвращается в то же положение - получаются фигуры Лиссажу более сложной формы.

Зная частоту колебания по оси X, по виду фигуры Лиссажу, можно найти частоту колебания по оси У и наоборот. Вид фигур Лиссажу позволяет определить соотношения между частотами (или периодами) и фазами обоих колебаний.

Если колебания, которые совершает точка, происходят не по гармоническому, а по более сложному закону, но с одинаковым периодом, то получаются замкнутые траектории, аналогичные фигурам Лиссажу, но искаженной формы.

Роль материальной точки могут выполнять электроны, совершающие колебания под действием взаимно-перпендикулярных электрических полей в электронно-лучевой трубке осциллографа.

Вид фигур Лиссажу найдем сначала графическим методом, а затем при помощи осциллографа.

5. Графический метод сложения взаимно-перпендикулярных колебаний.

Для того, чтобы построить фигуру Лиссажу при разных фазовых соотношениях, установим фазы, соответствующие некоторым точкам синусоиды (рис. 5).

Рис. 5.

Для облегчения построения и нахождения соответствующих фаз необходимо нарисовать окружность, радиусом, равным амплитуде колебания, и ее длину разбить, например, на 8 частей, наметив точки 1, 2, 3 и т.д., каждая из которых последовательно соответствует фазам колебаний по оси У:

Построим ось У и ось j, как показано на рис. 5На горизонтальной оси будем откладывать фазы колебаний

и т.д.

Из намеченных точек восстановим перпендикуляры, а от соответствующих точек окружности проведем ряд горизонтальных линий. Точки пересечения этих вспомогательных линий и дадут точки синусоиды.

Полученные точки соединим плавной кривой. Если построение правильно, то на рисунке будет изображена синусоида.

Таким образом,

точке "1 а" соответствует фаза, равная 0,

точке "2 в" соответствует фаза, равная p/4,

точке "З с" соответствует фаза, равная 2p/4=p/2 и т.д.

На рис.6 изображены синусоиды складываемых колебаний, частоты которых относятся как целые числа 1 : 4. Их колебания сдвинуты по фазе на 3p/4.

При графическом сложении взаимно-перпендикулярных колебаний с одинаковыми частотами и амплитудами необходимо нарисовать синусоиды этих колебаний - одну для колебаний по оси X, а другую - для колебаний по оси У.

Горизонтальную синусоиду (колебания вдоль оси У) построим способом, описанным выше (с применением окружности). Вертикальную синусоиду (колебания вдоль оси X) строим аналогичным образом. Но надо учесть, что отсчет фаз для колебаний по оси Х будет начинаться с точки 7.

Рис. 6.

Фазе 0 для этих колебаний будет соответствовать точка 7, фазе p/4 - точка 8, фазе 2p/4 точка 1 и т.д.

Кроме того, при построении вертикальной синусоиды нужно учесть разность фаз складываемых колебаний.

Рис. 7

Так, например, на рис. 7 складываются колебания одинаковой частоты с разностью фаз , поэтому построение вертикальной синусоиды начато с фазы /4.

Для построения фигуры Лиссажу необходимо для точек с одинаковыми цифровыми индексами горизонтальной и вертикальной синусоид (1 и 1, 2 и 2, 3 и 3 и т.д.) провести прямые, параллельные фазовым осям j, до взаимного пересечения. Соединив полученные точки сплошной линией, получим искомую фигуру Лиссажу. Если же частоты складываемых колебаний кратны, т.е. относятся как целые числа 1:2, 1:3, 1:4, 1:5, 2:3, 2:5 и т.д., то построение фигур Лиссажу проводят аналогично, но при построении синусоид учитывается соотношение частот складываемых колебаний.

На рис. 7 пояснено сложение колебаний с равными амплитудами. Если же амплитуды складываемых колебаний различны, то для каждой синусоиды необходимо рисовать свою окружность, с радиусом, равным амплитуде колебаний, а все последующие построения будут аналогичны вышеописанному способу.

УПРАЖНЕНИЕ 1. Ознакомление с осциллографическим методом сложения одинакового направленных колебаний равной частоты.

1. Соберите схему, изображенную на рис. 8

2.

1

З Г. Э О

МС

МЕ

Y

Рис.8.

где ME - магазин емкостей, МС - магазин сопротивлений.

2. Нажмите на ME кнопку "10^-3", а на МС - кнопку "I0⁶".

3. Подключите к ЭО клеммы 1-2 и измерьте амплитудное значение А₁.

4. Подключите к ЭО клеммы 2-3 и измерьте амплитудное значение А₂.

5. Подключите к ЭО клеммы 1-3 и измерьте результирующее значение амплитуды А.

6. Вычислите сдвиг фаз из соотношения 1.

УПРАЖНЕНИЕ 2. Графический метод сложения.

1. На миллиметровой бумаге графическим методом сложите взаимно-перпендикулярные колебания одинаковой частоты с разностью фаз, равной 0.

Затем повторите сложение при других разностях фаз: p (не менее трех случаев).

3. По заданию преподавателя сложите взаимно-перпендикулярные колебания с кратными частотами (не менее трех случаев). Данные возьмите в таблице 1.

Таблица 1.

Соотношение частот

Разность

1:1

1:2

1:3

2:3

фаз

p

p

p

p

УПРАЖНЕНИЕ 3.Ознакомление с осциллографическим методом сложения взаимно-перпендикулярных колебаний.

1. Соберите схему, изображенную на рис. 9

Э О

ЗГ – 1 ЗГ – 2

Y Х

Рис. 9

2. Для наблюдения фигур Лиссажу на входы "У" и "X" подаются сигналы синусоидальной формы (рис. 9), при этом генератор развертки должен быть отключен. На пластины Х подается сигнал частотой 50 Гц, на пластины У - сигнал меняющейся частоты от звукового генератора.

В зависимости от сдвига фаз и при различных соотношениях частот сигналов, подаваемых на входы "У" и "X", на экране осциллографа будут наблюдаться различные фигуры (рис.10).

3. Вращая ручку шкалы частот звукового генератора, установите частоту 50 Гц. При точном соотношении 1:1 фигура должна остановиться.

4. Меняя частоту звукового генератора, установите другие соотношения частот и получите несколько фигур Лиссажу.

5. Сравните полученные фигуры с фигурами Лиссажу, приведенными на рис.10. Зарисуйте их.

6. Определите по ним отношение частот по числу точек пересечения и разность фаз колебаний (j₁ - j₂), подаваемых на пластины Х и У осциллографа.

Во избежание ошибок горизонталь АВ и вертикаль СД, пересекающие фигуру Лиссажу (см. рис. 5), не следует проводить через узловые точки фигуры или по касательной к ней.

ПРИМЕЧАНИЕ: Следует заметить, что получение неподвижной фигуры Лиссажу - трудоемкое дело, требуется предельно осторожно вращать ручку настройки частоты одного из генераторов, добиваясь синхронизации частот.

Рис. 10.

УПРАЖНЕНИЕ 5. Изучение биений.

1. Соберите схему, изображенную на рис.13.

2. Добейтесь устойчивого изображения картины биений на экране ЭО.

3. Меняя R (3-4 раза) получите на экране несколько вариантов картины биений, зарисуйте их.

4. Определите соотношение Dw/w.

ЭО

ЗГ – 1 R ЗГ – 2

Y

Рис.13.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Как графически можно представить гармоническое колебание?

2. Биения. Что такое биения? Какова частота биений?

3. Получить уравнение траектории материальной точки, участвующей одновременно в двух взаимно-перпендикулярных колебаниях с одинаковой частотой.

4. Определить траекторию движения материальной точки в зависимости от соотношения фаз складываемых колебаний.

5. Дайте определение фигуры Лиссажу, от каких параметров зависит вид фигур Лиссажу.

6. Какую информацию можно получить, анализируя вид фигуры Лиссажу?

7. По указанию преподавателя графическим методом сложить два взаимно перпендикулярных колебания (данные в таблице 1).

8. Получить результирующую амплитуду сложения колебаний одинакового направления и частоты.