Линеаризация уравнения Лейбензона. Сведение задачи нестационарной фильтрации газа к задаче фильтрации упругой жидкости.

Если заменить нелинейное дифференциальное уравнение

;

(15.1)

линейным, т.е. линеаризовать его, то оно упростится – для линейного уравнения существуют точные аналитические решения. Ясно, что эти точные решения линеаризованного уравнения будут приближенными для нелинейного. Оценить погрешность решения, которая возникает при замене точного уравнения линеаризованным, можно, например, сравнивая приближенное решение с решением на ЭВМ точного уравнения.

Были предложены различные способы линеаризации уравнения (15.1). Если рассматривается плоскорадиальный приток к скважине, то из теории установившейся фильтрации газа, воронка депрессии очень крутая, и в большей части пласта давление мало отличается от контурного. На этом основании Лейбензон предложил заменить переменное давление р в коэффициенте уравнения (15.1) на постоянное давление равное начальному давлению в пласте. Тогда, обозначив , получим вместо уравнения (15.1) уравнение

(15.2)

которое является линейным уравнением пьезопроводности относительно функции р² где - константа, аналогичная коэффициенту пьезопроводности. Такой способ линеаризации, когда переменный коэффициент и в уравнении (15.2) при различных значениях давления принимается константой, называется линеаризацией по Лейбензону. В дальнейшем различными авторами были предложены уточнения к линеаризации по Лейбензону. Так, И. А. Чарный предложил свести уравнение (15.1) к линейному заменой переменного давления в коэффициенте на значение

где - максимальное и минимальное давления в газовой залежи на расчетный период.

Используем линеаризованное уравнение (15.2) для решения конкретной задачи о притоке газа в скважину бесконечно малого радиуса (точечный сток), расположенную в пласте бесконечной протяженности с постоянной толщиной h. В начальный момент времени пласт невозмущен, т. е. давление во всем пласте постоянно и равно р₂. С этого момента начинается отбор газа с постоянным дебитом Q_ат. Нужно найти изменение давления по пласту с течением времени p(r,t).

Для плоскорадиальной фильтрации газа (15.2) запишется следующим образом

(15.3)

Здесь выражение представляет собой оператор Лапласа

в полярных координатах относительно квадрата давления для плоско-радиального движения.

Уравнение (15.3) надо проинтегрировать при начальном условии

при t=0, . (15.4)

и при граничном условии в удаленных точках

при t>0, . (15.5)

Выведем условие для давления на забое скважины. Для этого запишем выражение для массового дебита исходя из закона Дарси в дифференциальной форме для плоскорадиальной фильтрации:

Использовав равенства

и сократив на , получим:

Из этого соотношения выразим условие на стенке газовой скважины бесконечно малого радиуса:

при r=0

Решением поставленной задачи для упругой жидкости является основная формула упругого режима :

(15.6)

Аналогия между фильтрацией упругой жидкости и газа свидетельствует о том, что, заменив в формуле (15.6) давление на р², – на , -на получим решение поставленной задачи для, газа

(15.7)

или

(15.8)

Это и есть основное решение линеаризованного уравнения Лейбензона.

Для малых значений аргумента можно заменить интегральную показательную функцию логарифмической

(15.9)

или

(15.10)

Подчеркнем, что решения (15.7)-( 15.10) являются приближенными, так как получены в результате интегрирования линеаризованного уравнения (15.3).

Формулы (15.8) и (15.10) определяют (при фиксированных значениях времени t) распределение давления вокруг газовой скважины, работающей с постоянным дебитом с момента t = 0. Эти депрессионные кривые имеют такой же характер, как при установившейся фильтрации - они очень крутые вблизи скважины (рис. 15.1.а). Если задать значение r, то можно найти изменение давления в данной точке с течением времени. В частности, можно найти изменение давления на забое (при r = ) после начала работы скважины (рис.15.1.б)

(15.11)