Определение коэффициента упругости пружины динамическим

методом

Этот метод основан на законах колебательного движения груза массой m около положения равновесия. Основной признак колебательного движения – периодичность. Следовательно, смещение x груза из положения равновесия можно записать в виде периодической функции времени:

где A – амплитуда; w = 2p/T – циклическая частота, обратно пропорциональная периоду T колебаний; j₀ – начальная фаза колебаний.

При смещении x величина силы упругости будет определяться полным удлинением пружины, равным сумме Dl и x (см. рис. 2.1):

Здесь Dl – удлинение пружины под действием покоящегося груза:

.

(2.4)

Записав второй закон Ньютона (2.1) в проекциях на ось x (см. рис. 2.1) и учтя выражения (2.3) и (2.4), нетрудно получить дифференциальное уравнение свободных колебаний подвешенного на пружине тела:

,

(2.5)

где a_x – проекция ускорения груза на ось х.

После подстановки значений и x в уравнение (2.5) получим

Зная циклическую частоту колебаний w и колеблющуюся массу m, можно определить значение коэффициента упругости . Так как непосредственно измеряется время, то лучше связать коэффициент упругости не с частотой, а с периодом колебаний. Нетрудно показать, что квадрат периода колебаний груза на пружине прямо пропорционален его массе и обратно пропорционален коэффициенту упругости пружины:

.

(2.7)

Из последнего равенства видно, что период определяется только свойствами системы (m и k) и не зависит от амплитуды колебаний.

Уравнение (2.7) позволяет графически обработать результаты измерений периода: откладывая по осям соответствующие переменные, можно свести равенство (2.7) к виду y = c + bx и получить при построении графика прямую, по угловому коэффициенту которой можно найти коэффициент упругости k. Подумайте, что следует принять за y, за х, за b,чтобы свести уравнение (2.7) к указанной линейной зависимости.

Выполнение измерений

1. Поместите на подвеску все 5 грузов, запишите в табл. 2.1 их общую массу с учетом массы подвески.

2. Нажимая двумя пальцами на верхнюю плоскость груза, оттяните его на любую величину А < Dl вниз и быстро уберите пальцы вверх.

Таблица 2.1

3. Запишите значение N и измерьте время t, за которое груз сделает N полных колебаний, запишите его в табл. 2.1. Измерения времени с каждым грузом нужно проделать по 3 раза, изменяя число колебаний. Например, N₁ = 12, N₂ = 20, N₃ = 28, или 10, 15, 20 колебаний (по указанию преподавателя).

Подсказка:чтобы сделать три замера, достаточно запустить колебания один раз, потому что период колебаний не зависит от амплитуды, которая постепенно уменьшается вследствие затухания колебаний.

4. Снимите верхний груз и проведите такие же измерения, сохраняя выбранные значения числа колебаний.

5. Снимите ещё один груз, проведите измерения с тремя оставшимися, затем с двумя и, наконец, с одним, самым тяжёлым грузом. Все показания секундомера и массы грузов запишите в табл. 2.1.

Анализ и обработка результатов измерений

1. Вычислите и занесите в табл. 2.1 периоды колебаний,среднее значение периода áT ñ из трёх измерений для каждой массы, а затем – квадрат этого значения.

2. Постройте график зависимостиквадрата периода колебаний от массы груза, найдите по нему угловой коэффициент b и вычислите коэффициент упругости k_дин, используя формулу (2.6), где b = 4p²/k .

Сформулируйте и запишите обобщающий вывод, в котором укажите, в частности, как зависит период колебаний от массы груза.

Контрольные вопросы

1. Дайте определения: силы упругости, силы тяжести, периода и амплитуды колебаний. Письменный ответ на этот вопрос необходимо включить в отчет.

2. Каковы цели лабораторной работы и что нужно сделать для их достижения?

3. Назовите составные части лабораторной установки и их назначение.

4. Какие величины измеряются в данной работе непосредственно? Какие вычисляются?

5. Каковы единица измерения и размерность коэффициента упругости?

6. Найдите скорость колеблющегося тела и его ускорение. Будет ли движение тела равноускоренным? Как направлено ускорение относительно смещения?

7. Какая из величин, входящих в кинематическое уравнение (2.5), определяется расстоянием, на которое оттягивают груз?

8. Проанализируйте, что следует понимать под m в уравнении (2.4). Только ли массу груза или суммарную массу этого груза и платформы, на которую он положен? Аналогичны ли массы m в уравнениях (2.4) и (2.9)?

9. Выведите формулы (2.4), (2.5), (2.6), (2.7).