Теория метода и описание установки

При движении тела в жидкости или газе на него действует сила сопротивления , зависящая от скорости тела. В общем случае сила сопротивления имеет две составляющие – силу трения F_т и силу давления F_д. Сила трения обусловлена вязкостью жидкости, и пропорциональна скорости u тела. Сила давления определяется разностью давлений на передней и задней поверхностях тела, её величина пропорциональна квадрату скорости u².

При малых скоростях жидкость плавно обтекает тело, не создавая разности давлений, и сила сопротивления практически равна силе трения между слоями жидкости, движущимися с различными скоростями: .

Ньютон показал, что величина силы внутреннего трения между слоями жидкости пропорциональна площади S соприкосновения слоёв и градиенту скорости du/dx, который показывает, насколько убывает скорость слоёв жидкости при перемещении на единицу длины в перпендикулярном к скорости направлении x:

.

(4.1)

Здесь h – коэффициент пропорциональности, характеризующий вязкость жидкости и называемый коэффициентом динамической вязкости. Также вязкость жидкости может быть охарактеризована коэффициентом кинематической вязкости

,

(4.2)

где r – плотность жидкости.

В качестве примера рассмотрим шарик радиусом R, медленно падающий в жидкости под действием силы тяжести. Жидкость обволакивает шарик, и вместе с прилегающим к его поверхности слоем движется со скоростью u (рис. 4.1).

Прилипший слой приводит в движение соседние слои жидкости, скорость которых постепенно уменьшается по мере удаления от оси движения шарика (профиль скоростей показан на рис. 4.1 штриховой линией).

Г. Стокс установил, что при малых скоростях и размерах шарика (ламинарное течение) скорость слоёв жидкости линейно уменьшается с увеличением расстояния до шарика и становится равной нулю на расстоянии L = 2R/3 от поверхности шарика. Точнее, это имеет место при малых значениях безразмерного критерия Рейнольдса

,

(4.3)

где D – диаметр шарика; u – его скорость.

Следовательно, если выполняется условие ламинарности течения Re << 1, то градиент скорости, то градиент скорости в этом случае

.

(4.4)

Поскольку площадь поверхности шарика S = 4pR², то легко показать, что модуль силы сопротивления движению шарика (см. выражение (4.1)) при Re < 0,1

Кроме силы сопротивления, на шарик, падающий в жидкости, действуют также сила тяжести

(4.6)

и сила Архимеда (рис. 4.2)

.

(4.7)

В выражениях (4.6) и (4.7) g – ускорение свободного падения, r₁ – плотность шарика, r₂ – плотность жидкости. Если начальная скорость шарика равна нулю, то F_c = 0 и шарик вначале будет двигаться ускоренно. Но по мере увеличения скорости шарика будет возрастать и сила сопротивления, и наступит такой момент, когда сумма приложенных к шарику сил станет равной нулю:

,

(4.8)

и дальнейшее движение шарика будет равномерным со скоростью u = u_равн.

Записывая второй закон Ньютона (4.8) в проекции на направление скорости и используя выражения (4.5), (4.6), (4.7), можно получить расчётную формулу для определения коэффициента динамической вязкости:

.

(4.9)

Таким образом, чтобы вычислить значение коэффициента динамической вязкости, нужно знать плотность жидкости и плотность материала, из которого изготовлен шарик, измерить диаметр шарика и определить скорость его равномерного движения

Установка для определения вязкости методом Стокса представляет собой вертикально расположенный стеклянный цилиндр с исследуемой жидкостью, куда и опускается шарик. На боковой поверхности цилиндра имеется шкала, по которой измеряют путь l, пройденный шариком. Время, затраченное на прохождение отрезка пути, измеряется секундомером. Для улучшения условий наблюдения цилиндр подсвечивается лампой дневного света.

Выполнение измерений

1. Измерить диаметр шарика с помощью микрометра или стойки с индикатором и записать в табл. 4.1.

2. Установить метки в нескольких точках по сантиметровой шкале, расположенной на поверхности прозрачного цилиндра с глицерином, например: 5, 20, 40, 60 см. Конкретные значения задаёт преподаватель или лаборант.

3. Подготовить секундомер к пуску, взять шарик и опустить в цилиндр.

4. В тот момент, когда шарик будет проходить самую верхнюю метку, нужно включить секундомер и в момент прохождения шариком второй метки записать мелом показания секундомера, не останавливая его. Шарик продолжает медленно падать, и в момент прохождения им третьей метки так же считывают и записывают показания секундомера без его выключения. В момент прохождения шариком последней метки секундомер выключают и записывают с него в табл. 4.1 время прохождения шариком расстояния между первой и последней метками. Предыдущие два замера также переписывают в табл. 4.1.

Примечание. Если секундомер позволяет производить несколько последовательных измерений, то вместо записей мелом нужно запускать секундомер на следующий круг при прохождении 2-й и 3-й меток.

5. Повторяют измерения с другим шариком. Всего получается шесть измерений времени с двумя шариками.

6. Измеряют и записывают температуру глицерина по шкале термометра, расположенного рядом с установкой.

Анализ и обработка результатов измерений

1. Определить и записать в табл. 4.1 отрезки пути l, пройденные шариком за соответствующие промежутки времени.

2. Вычислить скорость шарика u = l/t изаписать в таблицу.

3. Для каждого из шести измерений вычислить вязкость глицерина по формуле (4.9), записать в табл. 4.1.

Примечание: рекомендуем вначале вычислить постоянный множитель C = g(r₁ – r₂)/18 в единицах СИ.Плотность шариков и глицерина соответственно: 7800 кг/м³ и1200 кг/м³. Ускорение свободного падения – по табл. П2 Приложения 2.

4. Выполните статистическую обработку результатов измерений по всем значениям h (см. табл. 1 на стр. 8).

5. По среднему значению <h> вычислите коэффициент кинематической вязкости глицерина и значения критерия Рейнольдса для каждого шарика.

6. Сравните полученное значение коэффициента вязкости с табличным значением для глицерина (см. табл. П4), выявите возможные причины несоответствия.

Контрольные вопросы

1. Дайте определения: силы сопротивления, силы Архимеда, ламинарного и турбулентного течений.Письменный ответ на этот вопрос необходимо включить в отчет.

2. Каковы цели лабораторной работы и что нужно сделать для их достижения?

3. Назовите составные части лабораторной установки и их назначение.

4. Какие величины измеряются в данной работе непосредственно? Какие вычисляются?

5. Определите размерности коэффициентов динамической и кинематической вязкости. Как называются единицы их измерения в системах СИ и СГС?

6. От каких величин зависит сила сопротивления движению тела в жидкости? Какова зависимость силы сопротивления от скорости для случаев медленного и быстрого движений?

7. Какая физическая величина называется градиентом скорости? Каковы его физический смысл и размерность?

8. Какой критерий подобия определяет характер течения? Запишите его формулу, проверьте размерность.

9. Какие силы действуют на шарик, падающий в жидкости? Опишите характер движения тяжёлого шарика, опущенного без начальной скорости в жидкость.

10. Как коэффициенты вязкости жидкостей зависят от температуры?

11. Выведите формулу (4.5) и расчётную формулу (4.9).

12. Изобразите в виде графика зависимость скорости шарика от времени при начальной скорости u₀ = 0.