Задача 2. Оптимальная производственная программа

Фирма выпускает два вида изделий А и В, которые обрабатываются на станках двух типов. Известны нормативы a_ij времени, требуемого для обработки одного изделия j-го вида на станке i-го типа (ст./час.), общие фонды рабочего времени каждого типа станков b_i (ст./час.). Фирма имеет контракт, согласно которому должна ежедневно поставлять заказчику d₁ изделий А и d₂ изделий В.

Анализ продаж фирмы показал, что с увеличением объема выпуска из-за роста расходов по реализации изделий их удельная прибыль р_j (руб.) уменьшается, причем для ее определения может быть использована формула р_j = c_j – lх_j, где х_j — количество проданных изделий j-го вида, а c_j и l — фиксированные величины.

Нужно определить, сколько изделий каждого вида следует изготовить фирме, чтобы прибыль от их реализации была максимальной.

Исходные значения параметров представлены в таблице:

Требуется:

1. Составить математическую модель нахождения оптимального плана выпуска продукции.

2. Определить оптимальный план выпуска обобщенным методом множителей Лагранжа и дать экономическую интерпретацию полученных результатов.

Решение:

1. Построение математической модели

В рассматриваемой задаче следует определить

х₁ — план выпуска изделий А;

х₂ — план выпуска изделий В.

Эти величины являются переменными модели. Обязательства по контракту дают следующие ограничения на их значения: х₁ ≥ 10 и х₂ ≥ 20. Так как время работы станков каждого типа, затрачиваемое на обработку деталей, не должно превосходить их общего лимита времени работы, то получаем еще два ограничения:

2х₁ + 2х₂ ≤ 160,

6х₁ + 2х₂ ≤ 220.

Прибыль Z, получаемая от продажи продукции, вычисляется по формуле

Z = (320 – 2х₁) х₁ + (280 – 2х₂) х₂ = 320 х₁ – 2 + 280 х₂ – 2 .

Таким образом, математическая модель задачи фирмы имеет вид:

Z = 320х₁ – 2 + 280 х₂ – 2 → max, (1)

2х₁ + 2х₂ ≤ 160, (2)

6х₁ + 2х₂ ≤ 220, (3)

х₁ ≥ 10, х₂ ≥ 20. (4)

2. Нахождение оптимального плана обобщенным методом множителей Лагранжа.

Сначала проверим, что задача (1) – (4) является задачей ВП. Действительно, все ограничения задачи линейны, а ЦФ — вогнутая функция, как сумма вогнутых функций.

Для нахождения оптимального решения этой задачи обобщенным методом множителей Лагранжа нужно выполнить следующие действия.

Шаг 1. Сначала решим задачу без учета ограничений, т.е. как задачу отыскания глобального максимума ЦФ. Назовем ее «задача 2.1». Она имеет следующий вид.

Z = 320х₁ – 2 + 280 х₂ – 2 → max.

Для ее решения нужно найти стационарную точку ЦФ, координаты которой являются решением системы

Отсюда, Таким образом, стационарная точка ЦФ — точка = (80, 70). В силу вогнутости Z она является точкой ее глобального максимума. Поэтому, если окажется, что эта точка является допустимой в исходной задаче, то она будет ее точкой оптимума. Проверим выполнение ограничения (2):

2×80 + 2×70 = 160 + 140 = 300 > 160.

Найденная точка не является допустимой и, следовательно, не может являться оптимальным решением задачи (1) – (4).

Шаг 2. Согласно схеме обобщенного метода множителей Лагранжа решим задачу максимизации ЦФ («задача 2.2») с учетом первого из ограничений исходной задачи фирмы, которое следует записывать в виде равенства.

Задача 2.2 имеет следующий вид:

Z = 320х₁ – 2 + 280х₂ – 2 → max, (5)

2х₁ + 2х₂ = 160. (6)

Сформируем функцию Лагранжа

L(x₁, x₂, λ) = 320х₁ – 2 + 280х₂ – 2 + λ (160 – 2х₁ – 2х₂)

и найдем ее стационарные точки. Для этого нужно решить систему

Из первого уравнения имеем

,

а из второго уравнения

.

Подставив найденные выражения х₁ и х₂ от λ в третье уравнение, получим

160 – 2×(80 – 0.5λ) – 2×(70 – 0.5λ) = 0 2λ – 140 = 0 λ = 70.

Тогда х₁ = 80 – 70/2 = 45, а х₂ = 70 – 70/2 = 35, т.е. решение системы:

= 45, = 35, λ² = 70.

Найденная точка х² = (45, 35) является оптимальным решением задачи 2.2. Проверим, является ли она допустимой в исходной задаче (1) – (4). Для этого подставим ее координаты в ограничение (3). Получаем, что

6×45 + 2×35 = 270 + 70 = 340 > 220.

Следовательно, найденное решение не является допустимым.

Шаг 3. Решим задачу максимизации ЦФ («задача 2.3») с учетом второго ограничения задачи фирмы, которое также запишем в виде равенства. Она имеет следующий вид:

Z = 320х₁ – 2 + 280 х₂ – 2 → max, (7)

6х₁ + 2х₂ = 220. (8)

Снова сформируем функцию Лагранжа:

L(x₁, x₂, λ) = 320х₁ – 2 + 280 х₂ – 2 + λ (220 – 6х₁ – 2х₂)

и найдем ее стационарные точки. Для этого нужно решить систему

Из первого уравнения имеем

,

а из второго уравнения

.

Подставив найденные выражения х₁ и х₂ от λ в третье уравнение, получим

220 – 6 (80 – 1.5λ) – 2×(70 – 0.5λ) = 10λ – 400 = 0 λ = 40.

Тогда х₁ = 80 – 1.5×40 = 20, а х₂ = 70 – 40/2 = 50. Итак, решение системы:

= 20, = 50, λ³ = 40.

Найденная точка х³ = (20, 50) является оптимальным решением задачи 3. Проверим, является ли она допустимой в исходной задаче. Для этого подставим ее координаты в ограничение (2). Получаем, что

2×20 + 2×50 = 40 + 100 = 140 < 160,

т.е. это ограничение выполнено. Очевидно, что выполнены и остальные ограни-чения задачи (1) – (4). Так как она является задачей ВП, это означает, что найдено оптимальное решение задачи фирмы х^* = (20, 50). Вычислим оптимальное значение ЦФ:

Z^* = 320×20 – 2×20² + 280×50 – 2×50² = 14 600.

Итак, оптимальным решением является выпуск 20 изделий вида А и 50 изделий вида А. Реализация выпущенных изделий даст фирме максимальную прибыль, равную 14 600 руб. Выполнение этой производственной программы требует затрат 140 ст./час. из фонда рабочего времени станков первого типа и 220 ст./час. из фонда рабочего времени станков второго типа. Это означает, что первый вид оборудования недоиспользуется, а второй вид оборудования используется полностью.

Множитель Лагранжа ограничения по станкам второго типа λ^* = 40 характе-ризует предельную полезность этого ресурса. Его величина показывает, что при увеличении фонда рабочего времени станков этого типа на 1 ст./час. прибыль фирмы возрастет примерно на 40 руб.

Геометрическая интерпретация используемого метода решения

С геометрической точки зрения ОДР задачи фирмы представляет собой выпуклый четырехугольник АВCD (см. рис. 2). Линии уровня ЦФ представляют собой концентрические окружности, имеющие общий центр в точке О (80, 70),причем чем дальше от центра находится линия уровня, тем меньшее значение имеет на ней ЦФ.

Рис. 2. Геометрическая интерпретация решения задачи фирмы

Решение задачи 2.1 — точка О, в которой находится глобальный безусловный максимум ЦФ. Она находится вне ОДР и, следовательно, не является допустимой в задаче фирмы.

Решение задачи 2.2 — точка Е (45, 35), в которой линия уровня ЦФ касается граничной прямой ограничения (2). Эта точка также находится вне ОДР и не является допустимой в задаче фирмы.

Решение задачи 2.3 — точка F(20, 50), в которой линия уровня ЦФ касается граничной прямой ограничения (3). Она лежит на границе ОДР и является «первой» общей точкой ОДР и линии уровня ЦФ. Это оптимальное решение задачи фирмы.

С геометрической точки зрения решение задач 2.2 и 2.3 аналогично графичес-кому решению предыдущей задачи.

Замечание. Если при решении задачи фирмы оказалось бы, что точка О лежит внутри ОДР, то в этом случае точка оптимума была бы глобальным максимумом ЦФ. Возможна ситуация, когда точкой оптимума является угловая точка (одна из вершин ОДР). Она будет стационарной точкой функции Лагранжа в задаче максимизации ЦФ, содержащей два ограничения, активных (выходящих на равенство) в этой точке.

[1] Линии уровня ЦФ рассматриваемой задачи будут эллипсами при выполнения следующих условий: а₂ > 0, b₂ > 0 и а₂ ≠ b₂. Если же а₂ > 0, b₂ > 0, но а₂ = b₂, то линии уровня представляют собой семейство окружностей, имеющих общий центр О.