Композиция трехмерных преобразований

Путем объединения элементарных трехмерных преобразований можно получить другие преобразования. В этом разделе показано, как это сделать. Задача состоит в том, чтобы преобразовать отрезки P₁P₂ и P₁P₃ (рис. 2.5) из начальной позиции в конечную. Точка Pi переносится в начало координат, P₁P₂ располагается вдоль отрицательной полуоси x, а P₁P₃ помещается в плоскости yz в той ее половине, где ось у положительна. На длины отрезков преобразование не воздействует.

Как и прежде, разобьем сложную задачу на более простые. В данном случае преобразование можно выполнить за четыре шага:

1. Перенос точки Pi в начало координат.

2. Поворот вокруг оси у до совмещения P₁P₂ с плоскостью уz.

3. Поворот вокруг оси x до совмещения P₁P₂ с отрицательной полуосью Z.

4. Поворот вокруг оси z до совмещения P₁P₃ с плоскостью yz.

Шаг 1. Перенос Ρ₁ в начало координат:

Применение Τ к P₁, Р₂ и Р₃ дает

Шаг 2. Поворот вокруг оси у. На рис. 2.5 показаны отрезки P₁P₂ после шага 1 и проекция P₁P₂ на плоскость xz. Поворот производится на положительный угол θ, для которого

где

Тогда

Как и ожидалось, x-компонента Р₂ равна нулю.

Шаг 3. Поворот вокруг оси х. На рис. 2.6 показан отрезок P₁P₂

Рис. 2.5. Композиция преобразований

после шага 2. Поворот производится на отрицательный угол φ, для которого

где

Запись обозначает длину Результатом поворота на шаге 3 является

т. е. теперь совпадает с отрицательной полуосью z.

Шаг 4. Поворот вокруг оси z. На рис. 2.6 показаны и после шага 3, когда Р₂'" лежит на отрицательной полуоси z, а Р₃'" - в точке

Поворот производится на

положительный угол a, для которого Шаг 4 является последним шагом, после которого получается конечный результат, показанный на рис. 2.6. Результирующая матрица

описывает искомое преобразование, где

Рис. 2.6. Окончание композиции преобразований