Тема 5. фермионы и бозоны

В современной физике поведение элементарных частиц описывается набором квантовых чисел, представляющих собой совокупность параметров, дающих всю полноту информации о частице, достижимую в рамках квантовой механики. Так, например, поведение электрона в простейшей квантовомеханической системе – атоме водорода – описывается заданием четырех квантовых чисел:

– главного квантового числа, определяющего энергию электрона;

– орбитального квантового числа, определяющего величину момента импульса электрона;

– магнитного квантового числа, определяющего ориентацию момента импульса электрона;

– спинового квантового числа, определяющего ориентацию спина электрона.

Для других систем набор квантовых чисел и их физический смысл будут иными, однако общая логика описания частиц с помощью квантовых чисел справедлива для любой системы.

Таким образом, набор квантовых чисел представляет собой своеобразные «паспортные данные» элементарной частицы, позволяющие подробно описать ее поведение в каждой конкретной физической ситуации. Для краткости совокупность квантовых чисел обычно называют состоянием частицы, так что различным наборам квантовых чисел соответствуют различные состояния.

Зададимся вопросом: возможно ли нахождение нескольких одинаковых элементарных частиц в одном и том же состоянии? В зависимости от ответа на этот вопрос всю совокупность элементарных частиц, образующих материальный мир, можно разделить на две группы.

Для первой группы невозможно нахождение в одном состоянии более чем одной частицы. Закон, описывающий распределение этих частиц по состояниям, получен Э. Ферми и П. Дираком (статистика Ферми–Дирака), в связи с чем такие частицы называются фермионами. Запрет находиться в одном и том же состоянии нескольким одинаковым фермионам впервые сформулирован В. Паули, в связи с чем это утверждение вошло в мировую научную литературу как принцип
Паули.

Для второй группы возможно нахождение в одном состоянии сколь угодно большого числа одинаковых элементарных частиц, причем вероятность перехода в данное состояние еще одной частицы тем больше, чем больше частиц в этом состоянии уже находится. Закон, описывающий распределение этих частиц по состояниям, сформулирован Ш. Бозе и А. Эйнштейном (статистика Бозе–Эйнштейна), в связи с чем такие частицы называются бозонами.

Какие же элементарные частицы являются бозонами, а какие фермионами? Ответ на этот вопрос в самом общем виде был дан В. Паули, который доказал, что частицы с полуцелым спином (1/2, 3/2, 5/2 и т. д.) являются фермионами, а частицы с целым спином (1, 2, 3 и т. д.) – бозонами. Отсюда, в частности, следует, что электроны, протоны и нейтроны являются фермионами, тогда как фотоны и мезоны – бозонами.

Необходимо отметить, что если мы имеем дело со сложной частицей (например, атомным ядром), представляющей собой совокупность нескольких частиц, то принадлежность этой сложной частицы к бозонам или фермионам определяется суммарным спином частиц, входящих в ее состав: если суммарный спин является целым, то данная частица является бозоном, если же суммарный спин является полуцелым, то мы имеем дело с фермионом (см. рисунок на цветной вклейке). Отвечая на вопрос о причинах размежевания частиц на фермионы и бозоны в зависимости от величины их спина, выдающийся физик ХХ в. Р. Фейнман писал: «Это, видимо, одно из немногих мест в физике, когда правило формулируется очень просто, хотя столь же простого объяснения ему не найдено. Объяснение коренится глубоко в релятивистской квантовой механике. По-видимому, это означает, что мы до конца не понимаем лежащего в его основе принципа. Будем считать его пока одним из законов Вселенной». Не будем и мы вдаваться в микроскопическую причину различных свойств фермионов и бозонов, а перейдем к обсуждению различий в их поведении.

Продемонстрируем различие в поведении фермионов и бозонов с помощью следующей образной модели. Представьте себе, что вы заходите в вагон пригородной электрички. Если в вагоне имеются свободные места, вы с комфортом усаживаетесь, а если свободных мест нет, то вам придется стоять, поскольку попытка усесться к кому-нибудь на колени встретит законное негодование со стороны ваших случайных попутчиков. Аналогичным образом ведут себя и фермионы: если «место»-состояние занято одним фермионом, то он ни за что не позволит «усесться» в это же состояние другому такому же фермиону. Качественно иная ситуация имеет место в случае бозонов. Представьте себе, что вы заходите в вагон электрички, в уголке которого сидит компания ваших хороших друзей с гитарой и другими атрибутами приятного времяпрепровождения. Без сомнения, вас неудержимо потянет присоединиться к компании, причем притягательность этой компании в ваших глазах будет тем больше, чем больше ваших друзей находится там. И даже в том случае, если в вагоне имеется множество свободных мест, вы присоединитесь к компании друзей в уголке вагона, невзирая на тесноту. Аналогичным образом ведут себя и бозоны, являющиеся прирожденными «коллективистами». Стремление бозонов собраться (сконденсироваться) в состоянии, где находится наибольшее число таких же бозонов, получило название Бозе-Эйнштейновской конденсации. Из статистической физики хорошо известно, что чем меньше энергия состояния, тем больше вероятность нахождения частицы в этом состоянии в термодинамическом равновесии. Поэтому конденсация бозонов происходит в состоянии с наименьшей возможной энергией, называемом основным состоянием. Совокупность бозонов, сконденсировавшихся в основном состоянии, называют Бозе-Эйнштейновс-ким конденсатом. Рассмотрим конкретные физические ситуации, в которых проявляются необычные физические свойства этого конденсата.

Одно из ярчайших проявлений эффекта Бозе-Эйнштейновской конденсации имеет место в лазерах. Лазер отличается от других источников света, во-первых, строго определенной длиной волны излучаемого света (монохроматичностью излучения); во-вторых, высокой интенсивностью излучения; в-третьих, слабой расходимостью пучка излучения. Для того чтобы понять причину этих особенностей лазерного излучения, вспомним, как происходит излучение света в любом традиционном источнике света, будь то современная электрическая лампа или средневековая лучина. За счет подводимой к источнику света энергии (например, тепла, выделяющегося при протекании тока по вольфрамовой нити накаливания электрической лампы или нагреве мельчайших частиц сажи в пламени лучины) происходит возбуждение атомов, заключающееся в переходе электронов с нижележащих энергетических атомных уровней на вышележащие. Обратный переход электронов на нижние энергетические уровни сопровождается излучением фотонов. Поскольку в различных атомах переходы электронов происходят совершенно независимо друг от друга, излучаемые различными атомами фотоны летят в различных направлениях и имеют различную энергию. Для того чтобы получить лазерное излучение, необходимо каким-либо образом «дисциплинировать» фотоны, заставив их излучаться в строго определенном направлении и иметь при этом одинаковую энергию. В лазерах эта проблема решается с помощью эффекта Бозе-Эйнштейновской конденсации, который применительно к фотонам обычно называют эффектом индуцированного излучения. Для реализации этого эффекта возьмем излучающие свет атомы (активную среду лазера) и поместим их между двумя плоскими параллельными зеркалами (резонатор лазера). Те фотоны, которые излучаются атомами перпендикулярно к плоскости зеркал, благодаря многократному отражению от зеркал образуют стоячую световую волну, сам факт существования которой будет оказывать влияние на последующие акты излучения. Связано это с тем, что стоячая волна в резонаторе характеризуется строго определенной энергией фотонов (поскольку фиксированное расстояние между зеркалами четко определяет частоту светового излучения, образующего стоячую волну) и строго определенным направлением движения фотонов (перпендикулярно к плоскости зеркал). Иными словами, эта стоячая волна представляет собой совокупность фотонов, находящихся в одном и том же состоянии. Поскольку фотоны являются бозонами, в соответствии с эффектом Бозе-Эйнштейновской конденсации вновь излучаемые фотоны будут стремиться иметь такую же энергию и такое же направление движения, что и фотоны в стоячей волне. Вероятность излучения этих фотонов будет тем больше, чем больше фотонов находится в стоячей волне, благодаря чему интенсивность излучения может достигать огромных величин. Если одно из зеркал резонатора сделать полупрозрачным, то часть фотонов будет покидать резонатор, образуя лазерное излучение, удовлетворяющее вышесформулированным требованиям монохроматичности, высокой интенсивности и слабой расходимости. Таким образом, эффект Бозе-Эйнштейновской конденсации фотонов является незыблемым фундаментом, лежащим в основе работы лазера любой конструкции.

Другим эффектом, в котором особенности Бозе-Эйнштейновского конденсата также проявляются чрезвычайно ярко, является эффект сверхтекучести. В 1938 г. П.Л. Капица обнаружил удивительную способность жидкого гелия протекать сквозь столь узкие капилляры, что преодоление их было бы невозможным для обычной жидкости вследствие ее вязкости и связанного с этим трения о стенки капилляра. Сверхтекучесть представляет собой специфически квантовое явление, которое нельзя объяснить на основе классической физики (согласно которой любая жидкость должна обладать вязкостью), в связи с чем жидкий гелий часто называют квантовой жидкостью. При анализе свойств жидкого гелия необходимо учесть, что существует два устойчивых изотопа гелия: изотоп с массовым числом 3, ядро которого содержит два протона и один нейтрон (3Не), и изотоп с массовым числом 4, ядро которого содержит два протона и два нейтрона (4Не).
В природном гелии число атомов 3Не в миллион раз меньше числа атомов 4Не, и, пренебрегая малой примесью 3Не, можно считать, что гелий состоит из атомов 4Не. Для объяснения эффекта сверхтекучести жидкого гелия ключевым является то обстоятельство, что атомы 4Не содержат четное число фермионов и поэтому имеют целый спин, являясь бозонами. Каким же образом это обстоятельство дает возможность жидкому гелию протекать без трения? Для ответа на этот вопрос вспомним, что возникновение трения при течении обычной жидкости обусловлено процессами столкновения молекул жидкости с шероховатостями поверхности, по которой течет жидкость. В результате этих столкновений молекулы жидкости тормозятся и течение потока жидкости постепенно замедляется. Существенно, что процесс торможения всего потока жидкости происходит благодаря множеству актов торможения отдельных молекул, поскольку каждая микроскопическая неоднородность поверхности может затормозить только ту молекулу, которая находится вблизи данной неоднородности. Нетрудно убедиться в том, что в случае жидкости из бозонов такой механизм торможения не будет работать. В самом деле, состояние отдельных молекул-бозонов характеризуется вектором скорости движения и благодаря эффекту Бозе-Эйнштейновской конденсации все молекулы будут стремиться двигаться в одном направлении с одинаковой скоростью. Как мы уже говорили, эффект Бозе-Эйнштейновской конденсации представляет собой проявление, образно говоря, «коллективистского» характера поведения бозонов. И поэтому так же трудно затормозить одну отдельно взятую молекулу-бозон в потоке жидкости, как трудно уличному хулигану остановить одного человека в идущей по улице дружной компании, поскольку подобное намерение встретит активное противодействие со стороны всей компании. Единственная возможность затормозить поток бозонов и не войти в противоречие с их «коллективистскими» свойствами заключается в одновременном торможении (изменении состояния) большого числа бозонов. Как принято говорить, торможение оказывается возможным только благодаря возникновению в жидкости коллективных возбуждений, в которых принимает участие макроскопически большое число молекул. Однако для возникновения таких возбуждений необходима достаточна большая энергия. При низких температурах взять эту энергию в окружающей среде негде. Поэтому единственным источником энергии, необходимой для возникновения коллективных возбуждений в жидкости и связанного с этим торможения, является кинетическая энергия поступательного движения молекул жидкости. Как только кинетическая энергия (скорость поступательного движения) молекул превысит некоторую критическую величину, становится энергетически возможным возникновение вышеупомянутых коллективных возбуждений и жидкий гелий утрачивает свойство сверхтекучести.

К явлению сверхтекучести жидкого гелия очень тесно примыкает явление сверхпроводимости, заключающееся в исчезновении сопротивления проводников при низких температурах. Электрическое сопротивление любого проводника аналогично по своей природе трению, поскольку обусловлено процессами рассеяния отдельных электронов на различных нарушениях кристаллической структуры проводника. Поскольку электроны являются фермионами, для реализации эффекта Бозе-Эйнштейновской конденсации, подавляющего процессы трения, необходимо «превратить» электроны в бозоны. В известных сверхпроводниках это «превращение» осуществляется благодаря взаимодействию электронов с колебаниями кристаллической решетки (фононами), которые связывают электроны попарно, превращая из в своеобразные двухэлектронные молекулы (куперовские пары). Поскольку суммарный спин двухэлектронной молекулы является целым, такая молекула – бозон. Поэтому электрический ток в сверхпроводнике представляет собой поток движущихся бозонов и в полном соответствии с ранее проведенным для жидкого гелия рассмотрением будет протекать без сопротивления.

Рассмотренные нами явления индуцированного излучения света, сверхтекучести жидкого гелия и сверхпроводимости представляют собой яркие примеры макроскопических квантовых явлений, т. е. физических явлений, в которых квантовые свойства элементарных частиц обнаруживают себя в таких масштабах, что становятся видимыми невооруженным глазом.

Литература

Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. В 9 т. – М.: Наука, 1978. – 528 с.

Сэм М.Ф. Лазеры и их применение // Соросовский образов. журн. – 1996. – № 6. – с. 92–98.

Физика микромира / под ред. Д.В. Ширкова. – М.: Сов. энциклопедия, 1980. – 528 с.

Брандт Н.Б. Сверхпроводимость // Соросовский образов.
журн. – 1996. – № 1. – с. 100–107.

Тема 6. Волна или частица. Современные
представления о волновой природе вещества

Каждый физик думает, что он знает, что такое фотон. Я потратил всю жизнь, чтобы узнать, что такое фотон, и до сих пор этого не знаю.

Альберт Эйнштейн

Квантовомеханическое поведение вещей чрезвычайно странно. Никто не может полагаться на то, что его ежедневный опыт даст ему интуитивное, грубое представление о том, что должно произойти.

… мы сразу же попробуем ухватить самый основной элемент таинственного поведения в самой странной его форме. Мы выбрали для анализа такое явление, которое невозможно, совершенно, абсолютно невозможно объяснить обычным образом. В этом явлении таится сама суть квантовой механики. Но на самом деле в нем прячется только одна единственная тайна. Мы не можем раскрыть ее в том смысле, что не можем «объяснить», почему она так работает. Мы просто расскажем вам, как она работает.

Ричард Фейнман