Приложение 1. Магнитное поле катушек Гельмгольца

Рассмотрим круговой виток из тонкого провода радиуса R, по которому циркулирует ток I. Вычислим магнитную индукцию на оси этого витка на расстоянии z от него (см. рис.8). Для этого разобьём виток на бесконечно малые элементы тока . По закону Био-Савара каждый такой элемент создаёт поле

.

Как видно на рис.9, вектора от различных элементов образуют конус, и результирующий вектор в точке A направлен вверх по оси Z. Вычислив проекцию и проинтегрировав по dl, получаем:

. (6)

Рис.8. К выводу формулы для магнитного поля на оси кругового тока.

Применим полученный результат к кольцам Гельмгольца, изображённым на Рис.9. В точке, равноудаленной от колец, их вклады в магнитное поле равны по модулю и по направлению, поэтому магнитную индукцию (6) необходимо удвоить. Подставляя , получим:

. (7)

При l = R получаем

.

Для случая N витков в каждой катушке имеем

.

Это выражение совпадает с формулой (5).

Рис.9. Параллельные круговые витки с током.

В точках с координатами (x, y), отличными от нуля, компоненты магнитного поля выражаются формулами (4). Если сравнить их с формулой (5), то можно сделать вывод, что в качестве критерия однородности удобно выбрать величины:

(8)

Первое выражение в (8) описывает отклонение величины магнитного поля от формулы (5) по абсолютной величине, а второе – позволяет учесть отклонение магнитного поля от оси X. В областях пространства, где определяемые (8) поправки составляют менее 1%, магнитное поле можно считать однородным.