Вычисление количества света, падающего на фотоприемник

Чтобы как следует себе представить «световой вопрос» с точки зрения камеры, нам нужно знать, какое количество света действительно падает на фотоприемник.

Величина освещенности на ПЗС-матрице (ИС на ПЗС) (или лицевой панели) Е_ПЗС в первую очередь зависит от яркости объекта В, а также от F-числа, т.е. собирающей способности линзы. Чем ниже F-число, тем больше света проходит через объектив (ниже мы еще рассмотрим этот вопрос). Эта величина также пропорциональна коэффициенту пропускания объектива t. А именно, в зависимости от качества стекла и производителя, а также от механики внутренних поверхностей, определенный процент света теряется в самом объективе.

Все вышеупомянутые факторы можно представить следующим соотношением:

Е_ПЗС = В · t · p / (4 · F²) . [лк] (1.7)

Ниже мы покажем, как выводится это соотношение, чтобы люди, используя эти формулы, могли четко понимать, что здесь предполагается, а что аппроксимируется (1.7). Но поскольку для этого требуются более сложные математические выкладки, то читатели, не испытывающие к этому интерес или не имеющие соответствующей базы, могут просто воспользоваться соотношением (1.7) как оно есть, помня при этом, что В — это средняя яркость объекта (в люксах), t — это коэффициент пропускания объектива (в процентах), F — это F-число и p равно 3.14.

Объект, находящийся в поле зрения камеры и освещенный источником света, испускает свет практически во всех направлениях, в зависимости от функции отражения. На практике объект с гладкими поверхностями в большинстве случаев может считаться ламбертовской равномерно рассеивающей поверхностью.

Рис.1.7. Ламбертовская рассеивающая поверхность

Рис.1.8. Вычисление светового излучения

Тогда можно рассматривать поток, проходящий через полусферу радиуса r с центром ds. Пусть dq — это приращение угла q к нормали, тогда поток в объеме, образованном вращением угла dq проходит через окружность на поверхности сферы, причем радиус окружности равен r dq, а длина — 2 p r sinq .

Эта элементарная площадка на поверхности сферы задается следующим соотношением:

dA = 2 p r² sinq dq , (1.8)

и тогда телесный угол w, стягиваемый конусом в центре сферы, задается соотношением:

w = dA / r²= 2 p r² sinq dq / r²=2 p sinq dq , [стерадиан] (1.9)

поскольку сила света на ламбертовской поверхности (поток в стерадиане) в заданном направлении пропорциональна косинусу угла к нормали, а сила света полной поверхности в направлении нормали равна I, то под углом q она будет равна I cosq. Сила света dI элементарной площадки ds равна:

dI = I cosq ds / s , [люмен/стерадиан = кандел] (1.10)

поскольку I/s это действительная яркость В в перпендикулярном направлении, то вышеприведенное соотношение принимает вид:

dI = В cosq ds . [кд] (1.11)

Элементарный поток dF равен элементарной силе света dI, помноженной на телесный угол:

dF = В cosq ds 2 p sinq dq . [лм] (1.12)

Общий поток в конусе, образованном углом q, можно найти интегрированием от 0 до q:

F = ∫ 2 p В ds sinq cosq dq = p В ds sin²q . [лм] (1.13)

Если мы хотим найти полный световой поток, испускаемый во всех направлениях, то нужно положить угол q равным 90°, тогда получим:

F_t = p В ds . [лм] (1.14)

Теперь, если нам надо сосчитать поток в телесном угле, меньшем 90°, как это происходит в случае, когда камера направлена на объект, общий поток F_t задается формулой:

F₀ = p В ds₀ sin²q₀ . [лм] (1.15)

Рис.1.9. Вычисление количества света, падающего на ПЗС-матрицу

Если коэффициент пропускания линзы равен t, то поток, падающий на плоскость ПЗС (или лицевую панель), равен:

F_ПЗС = F₀ t = t p В ds₀ sin²q₀ . [лм] (1.16)

Освещенность ПЗС-матрицы (или лицевой панели) будет равна потоку, деленному на площадь, т.е.

F_ПЗС = t p В ds₀ sin²q₀ / ds_ПЗС . [лк] (1.17)

Из рисунка, на котором изображен рассеивающий ламбертовский источник, видно, что sinq_o можно выразить так:

sinq_o = d /(2D) (1.18)

и тогда соотношение (1.17) принимает вид:

F_ПЗС = t p d²В / (4D²) . [лк] (1.19)

Воспользуемся еще одной формулой, широко известной формулой линзы.

1/p + 1/D = 1/f , (1.20)

где р — это расстояние от линзы до плоскости изображения, D — расстояние между объектом и линзой, f, конечно же, фокусное расстояние линзы. Так называемый коэффициент увеличения объектива задается величиной m, равной отношению p k D:

m = p/D . (1.21)

Используя (1.20) и (1.21), можно выразить D следующим образом:

D = f (m + 1) . (1.22)

Если это выражение для D подставить в формулу (1.19), мы получим:

F_ПЗС = t p d²В / (4 f ² (m + 1)²) . (1.23)

Известно, что F-число объектива определяется отношением фокусного расстояния объектива к диаметру диафрагмы, в нашем случае это d:

F_ПЗС = t p В / (4 F ² (m + 1)²) . (1.24)

На практике D намного превосходит d, и тогда m мало, т.е. его можно принять равным 0. Тогда (1.24) можно приближенно представить в виде:

F_ПЗС = t p В / (4 F ²) . (1.25)

Эта формула может оказаться очень и очень полезной, если вы, например, захотите оценить количество света, попадающего на ПСЗ-матрицу или лицевую панель, и вам известны яркость объекта В (предполагаем, что он находится достаточно далеко по сравнению с фокусным расстоянием объектива) и F-число объектива в момент измерения. Обычно коэффициент пропускания объектива t меняется в пределах от 0.75 до 0.95. Для вычислений обычно принимается значение 0.8.

Давайте рассмотрим пример. Пусть освещенность плоскости объекта составляет около 300 лк, как примерно в любом помещении офиса (пусть это будет Е_object), яркость можно найти, используя коэффициент отражения окружающих объектов, т.е. В = Е_object· r. Как уже упоминалось выше, различные объекты имеют различные коэффициенты отражения, но мы не далеко уйдем от реальности, если примем его равным 50% для условий офиса. Если диафрагма объектива установлена на F/16, то освещенность ПЗС-плоскости будет составлять приблизительно F_ПЗС = 0.8·3.14·300·0.5/(4·256) = 0.36 лк. Это вместе с АРУ (AGC) камеры вполне реалистичная освещенность плоскости ПЗС-матрицы полного видеосигнала. Если же диафрагма объектива установлена на F/1.4, например, то освещенность ПЗС-плоскости будет равна примерно 48 лк (согласно соотношению (1.17)). Это значение гораздо выше необходимого для ПЗС-матрицы, и на практике она может дать узнаваемое изображение, только если используется автоустановка диафрагмы или если камера снабжена электронной встроенной (или ПЗС) диафрагмой. Если используется ручная установка F/1.4 и АРУ камеры отключена, 48 лк на чипе даст интенсивное или размытое белое изображение.

Базовое практическое правило заключается в том, что даже с низким F-числом объектив ослабляет свет в десятки раз. Чем выше F-число, тем ниже количество света, достигающего ПЗС-плоскости. Фактически оно обратно пропорционально квадрату F-числа.

Полученные результаты приводят к очень интересному вопросу, связанному с ПЗС-камерами (особенно ч/б): если освещенность объекта такая же, как в солнечный день (примерно 100 000 лк), то F-число должно быть очень велико. Это порядка 0.1-0.3 лк (или около того) для полного видеосигнала. Такое F-число действительно столь велико, что объектив должен ослаблять сигнал в 1 000 000 раз. Используя приближенную формулу (1.16) и предполагая такие же значения для t = 0.8 и r = 0.5, а также имея в виду, что ПЗС-матрица камеры требует 0.2 лк на 1 Vpp сигнал, мы получим F-число, равное 886.

Это очень большое число для механических средств (листового затвора). Точность его движения ограничена, и, что еще более важно, при малых раскрытиях диафрагмы становится заметен нежелательный оптический эффект, называемый краевой рефракцией Френеля. На практике это означает, что очень высокие F-stops не могут быть достигнуты при использовании лишь механических методов. Поэтому используются специальные оптические фильтры нейтральной плотности (neutral density filter, ND), чтобы помочь затвору обеспечить высокие F-stops, требуемые для чувствительных ПЗС-матриц.

Для обеспечения полностью насыщенного сигнала в 1 Vpp на выходе камеры (с отключенной АРУ) в случае ч/б ПЗС-матриц Е_ПЗС должно быть около 0.1 лк. Некоторые производители приводят более низкие значения, ссылаясь обычно лишь на процент видеосигнала.

Контрольные вопросы

1. Перечислите основные световые единицы.