Динамические величины в квантовой механике.

В квантовой механике каждой динамической переменной – координате, импульсу, угловому моменту, энергии ставится в соответствие линейный самосопряжённый (эрмитовый) оператор.

Все функциональные соотношения между величинами, известные из классической механики, в квантовой теории заменяются аналогичными соотношениями между операторами. Соответствие между динамическими переменными (физическими величинами) и квантово-механическими операторами постулируется в квантовой механике и является обобщением огромного экспериментального материала. Для динамических величин фундаментальным является уравнение:

представляющее собой аналитическое выражение задачи на собственные значения оператора. В квантовой механике допустимыми значениями динамической величины являются только собственные значения оператора и таким образом:

Это в свою очередь означает, что в каждом акте измерения величины как случайной, наблюдается только какое-либо собственное число . В силу действительности реальных физических величин все эти собственные числа должны быть действительными (вещественными) числами. Этому ограничению заведомо удовлетворяют эрмитовые операторы. Таким образом, операторы физических величин должны быть эрмитовыми, причём собственные векторы состояния в задаче на собственные значения оператора:

могут составить так называемый ортонормированный базис для разложения любого вектора . В состоянии с волновой функцией можно говорить лишь о среднем значении динамической величины . Последнее может быть вычислено на основании общей формулы вида:

где – вероятность осуществления в собственного состояния . Поскольку по определению справедливо утверждение:

тогда выражение, определяющее средние значения динамической величины , с учётом последнего соотношения может быть представлено к виду:

где – коэффициенты разложения по собственным векторам. Более удобна, оказывается иная форма вычисления, не требующая решения задачи на собственные значения оператора :

Эквивалентность полученных нами выше выражений для среднего значения динамической переменной :

устанавливается разложением вектора по собственным векторам :

и тогда после соответствующих подстановок будем иметь соответственно:

что и требовалось доказать. В непрерывном представлении, выражение:

означает:

Так, по определению, отклонение случайной величины от среднего значения характеризуется дисперсией (рассеянием) :

в квантовой механике аналогичная характеристика – дисперсия – вычисляется по аналогичной формуле:

На основании данной величины, в общем случае, можно количественно оценить флуктуацию случайной величины:

т.е. примерную величину отклонения динамической переменной от её среднего значения – так называемое стандартное отклонение. Очевидно, флуктуация окажется исчезающей величиной при условии, что:

что совпадает с выражением , когда . Это в свою очередь означает, что флуктуация отсутствует только в собственных для переменной состояниях . В этих случаях измерения будут давать достоверные значения: