Глава 3. Плоскость

Плоскость является простейшей поверхностью, которую можно представить как веер линий, полученных при движении прямой (образующей), закрепленной в некоторой точке, по другой прямой (направляющей).

3.1. Способы задания плоскости на чертеже

Положение плоскости в пространстве может быть однозначно определено одним из хорошо известных в геометрии элементов. В соответствии с этим плоскость может быть задана одним из шести способов:

а) тремя точками, не лежащими на одной прямой;

б) прямой и точкой, не лежащей на этой прямой;

в) двумя параллельными прямыми;

г) двумя пересекающимися прямыми;

д) плоской фигурой;

е) следами.

Тогда на чертеже (рис. 3.1) соответствующие геометрические объекты (точки, прямые) выглядят в виде проекций.

Рис. 3.1. Безосный двухкартинный комплексный чертеж геометрических объектов, задающих плоскость.

3.2. Плоскости частного и общего положения

3.2.1. Плоскости уровня

Плоскостью уровня называется плоскость, параллельная одной из плоскостей проекций, а следовательно, перпендикулярная двум другим. Тогда проекциями плоскости уровня будут прямые, параллельные соответствующим осям (рис. 3.2), вне зависимости от того, чем задана плоскость. От способа задания плоскости зависит лишь ее проекция на ту плоскость проекций, которой заданная плоскость параллельна.

Плоскость, параллельная П₁, называется горизонтальной плоскостью уровня ( Г ). На рис. 3.2а она задана тремя точками .

Плоскость, параллельная П₂, называется фронтальной плоскостью уровня (Ф). Зададим ее параллельными прямыми (рис. 3.2б).

Плоскость, параллельная П₃, называется профильной плоскостью уровня (Р). Считаем ее заданной пересекающимися прямыми (рис. 3.2в).

Рис. 3.2. Плоскости уровня на комплексном чертеже.

3.2.2. Проецирующие плоскости

Проецирующей называется плоскость, перпендикулярная одной из плоскостей проекций. Исходя из определения, такая плоскость вырождается в прямую при проецировании на ту плоскость проекций, к которой она перпендикулярна.

Рис. 3.3. Проецирующие плоскости на комплексном чертеже.

Горизонтально-проецирующей называется плоскость, перпендикулярная П₁, фронтально-проецирующей – перпендикулярная П₂, и профильно-проецирующей – плоскость, перпендикулярная П₃. На чертеже, первая из них задана плоской фигурой (рис. 3.3а), вторая – точкой и прямой (рис. 3.3б), третья - двумя параллельными прямыми (рис. 3.3в).

3.2.3.Плоскости общего положения

Плоскостью общего положения называется плоскость, не перпендикулярная и не параллельная ни одной из плоскостей проекций, а значит, расположенная под произвольным углом к каждой из них.

У такой плоскости все проекции будут плоские фигуры (рис. 3.4).

Рис. 3.4. Плоскость общего положения, заданная треугольником

3.3. Принадлежность точки и прямой плоскости

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости. Принадлежность прямой плоскости определяется по одному из двух признаков:

а) прямая проходит через две точки, лежащие в этой плоскости;

б) прямая проходит через точку и параллельна прямой, лежащим в этой плоскости.

3.4. Главные линии плоскости

Главными линиями плоскости называются линии уровня, лежащие в данной плоскости. Рассмотрим построение главных линий плоскости, заданной треугольником (рис. 3.5).

Горизонталь плоскости DАВС начинаем с вычерчивания ее фронтальной проекции h₂, которая, как известно, параллельна оси ОХ. Поскольку эта горизонталь принадлежит данной плоскости, то она проходит через две точки плоскости DАВС, а именно, точки А и 1. Имея их фронтальные проекции А₂ и 1₂, по линии связи получим горизонтальные проекции 1₁. Соединив точки А₁ и 1₁, имеем горизонтальную проекцию h₁ горизонтали плоскости DАВС. Профильная проекция h₃ горизонтали плоскости DАВС будет параллельна оси ОХ по определению.

Фронталь плоскости DАВС строится аналогично (рис. 3.5) с той лишь разницей, что ее вычерчивание начинается с горизонтальной проекции f₁, так как известно, что она параллельна оси ОХ. Профильная проекция f₃ фронтали должна быть параллельна оси ОZ .

Профильная линия плоскости DАВС имеет горизонтальную р₁ и фронтальную р₂ проекции, параллельные осям OY и OZ, а профильную проекцию р₃ можно получить по фронтальной, используя точки пересечения В и 3 с D АВС.

При построении главных линий плоскости необходимо помнить лишь одно правило: для решения задачи всегда нужно получить две точки пересечения с данной плоскостью.

Рис. 3.5. Построение главных линий плоскости, заданной треугольником

3.5. Взаимное положение прямых и плоскостей

3.5.1. Параллельность прямых и плоскостей

а). Если прямые параллельны друг другу, тогда параллельны и их одноименные проекции. б). Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой - либо прямой, лежащей в этой плоскости

Рис. 3.6. Построение параллельно расположенных геометрических объектов.

Тогда для построения параллельной прямой а (рис. 3.6а) необходимо, чтобы обе ее проекции были параллельны одноименным проекциям прямой (например, АВ), лежащей в данной плоскости. в) Плоскости параллельны друг другу, если две пересекающиеся прямые одной плоскости попарно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Для интерпретации этого свойства достаточно дополнить построения на рис. 3.6а еще одной прямой в, пересекающей а и параллельной ВС (рис. 3.6б).

3.5.2. Перпендикулярность прямых и плоскостей

а). Прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости, одна из которых фронталь, а другая горизонталь.

Хотя для перпендикулярности вполне достаточно, чтобы указанными пересекающимися прямыми были любые прямые в данной плоскости, однако только горизонталь и фронталь позволяют получить без искажений проекции прямого угла, образованного перпендикуляром к плоскости и фронталью (на П₂) и перпендикуляром к плоскости и горизонталью (на П₁). Тогда очевидно, что горизонтальная проекция этого перпендикуляра расположена под прямым углом к горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция - под прямым углом к фронтальной проекции фронтали.

Рис. 3.7. Построение перпендикулярно расположенных геометрических объектов.

б). Плоскости перпендикулярны друг к другу, если одна из них содержит перпендикуляр к другой.

Обратимся к рис. 3.7а, где перпендикуляр g к плоскости уже построен, необходимо через точку D провести произвольную прямую q (рис. 3.7б).

3.6. Позиционные задачи на плоскости

Позиционными называются задачи на определение каких-либо общих элементов геометрических объектов, например, точки пересечения прямой и плоскости, линии пересечения двух плоскостей.

3.6.1. Пересечение прямой и плоскости

Задачу на пересечение прямой и плоскости можно решать с помощью вспомогательной секущей плоскости, которая должна удовлетворять следующим условиям:

а) быть плоскостью частного положения, так как именно плоскость частного положения проецируется на соответствующую плоскость проекций в виде прямой;

б) проходить через прямую, точку пересечения которой с плоскостью мы отыскиваем.

Рассмотрим сначала частный случай. Пусть плоскость занимает частное положение в пространстве, например, является горизонтально - проецирующей и задана треугольником АВС (рис. 3.8 а). Необходимо найти точку пересечения ее с прямой а, заданной произвольно. Поскольку на П₁ горизонтально–проецирующая плоскость вырождается в прямую S₁, то горизонтальной проекцией точки пересечения будет К₁. Далее по линии связи на прямой а₂ (очевидно точка пересечения К принадлежит прямой а) найдем фронтальную проекцию К₂ точки пересечения.

Осталось определить видимые участки прямой а, поскольку на П₂ часть указанной прямой будет закрыта от наблюдателя плоскостью DАВС. Для этого необходимо рассмотреть точку, где пересекаются фронтальные проекции а и какой-либо прямой ( например, АС ), лежащей в плоскости DАВС. Обозначим эту точку 1₂. Но пересекаться прямая а и DАВС могут только в одной точке, которую мы отыскали (К₂). Все остальные точки будут точками, где они скрещиваются. Следовательно, прямая а и АС скрещиваются в пространстве. Значит, все точки, где пересекаются их проекции, будут конкурирующими, а именно 1₂=2₂. Тогда на П₁ имеем по линии связи 1₁ÎА₁С₁ и 2₁ Î а₁. Видимой является точка 2, которая принадлежит прямой а. Это сохраняется до точки пересечения К₂. Затем, естественно, участок прямой а будет невидим (обозначается пунктирной линией) до выхода из-под плоскости DАВС. Теперь задачу можно считать полностью решенной.

Рассмотрим общий случай пересечения прямой и плоскости, когда обе они занимают общее положение в пространстве. Пусть плоскость задана треугольником DАВС. Здесь и в дальнейшем используем задание плоскости в основном треугольником, так как в этом случае решение задачи наиболее наглядно. Необходимо найти точку пересечения произвольно заданной прямой в с DАВС (рис. 3.8, б).

Как указано выше, нужно через прямую в провести плоскость частного положения (например, фронтально-проецирующую). Линия пересечения этой плоскости совпадает с прямой в на П_2, т.е. S₂=в₂ . Тогда по точкам пересечения 3₂ и 4₂ построим точки 3₁ и 4₁, а следовательно, и прямую 3₁4₁, являющуюся горизонтальной проекцией линии пересечения плоскости S и DАВС. Но так как прямая 34ÌDАВС, то точка К₁ будет горизонтальной проекцией точки пересечения прямой в и DАВС. По ней найдем и фронтальную проекцию К₂, которая, очевидно, должна быть расположена на в₂ (ведь точка пересечения принадлежит и прямой в и D АВС ).

Рис. 3.8. Пересечение прямой и плоскости

Определим видимые участки прямой в на обеих проекциях по конкурирующим точкам. Для определения видимости на П₂ используем фронтально-конкурирующие точки (например, точки 3₂=5₂, где скрещиваются в₂ и А₂В₂). Очевидно, что точка 3₁ ближе к нам, чем точка 5₁. Следовательно, на П₂ выше 3₂, тогда в этой точке А₂ В₂ выше, а в₂ лежит под ней. Это верно только до точки пересечения К₂. Далее, естественно, выше будет в₂. Аналогично по горизонтально–конкурирующим точкам (например, 6₁=7₁) определяем, что в точках 6₁=7₁ прямая В₁С₁ лежит выше, чем в₁, так как точка 7₂ расположена выше, чем точка 6₂. Невидимый участок прямой в обозначаем пунктирной линией.

3.6.2. Пересечение плоскостей. Метод вспомогательных секущих плоскостей

Поскольку линией пересечения двух плоскостей является прямая, то для ее построения необходимо определить лишь две точки пересечения плоскостей.

Для решения указанной задачи применяется метод вспомогательных секущих плоскостей, который заключается в следующем.

Вводятся две дополнительные плоскости, пересекающие заданные. Для каждой дополнительной (вспомогательной) плоскости строим линию ее пересечения с заданными плоскостями. Точка пересечения двух полученных линий и будет точкой пересечения заданных плоскостей. Поскольку дополнительных плоскостей две, то и точек пересечения заданных плоскостей тоже две. Соединяя их, получаем линию пересечения плоскостей. Разумеется, каждая дополнительная плоскость должна занимать частное положение в пространстве, тогда на плоскость проекций, к которой вспомогательная плоскость перпендикулярна, она проецируется в прямую. Иначе, если вспомогательная плоскость занимает общее положение, введение дополнительной плоскости не упрощает решение задачи.

Проиллюстрируем на двух примерах.

Найти линию пересечения двух треугольников АВС и DEF и определить видимость сторон (рис. 3.9). Построим линию пересечения треугольников, воспользовавшись методом дополнительных секущих плоскостей. Для упрощения решения задачи секущие плоскости будем проводить через стороны треугольников.

Рис. 3.9. Пересечение двух треугольников

Пусть дополнительная горизонтально–проецирующая плоскость S проходит через сторону DE. Тогда S₁= D₁E₁. Это и есть горизонтальная проекция линии пересечения S с DАВС и DDEF. Построим фронтальную проекцию. Для DDEF таковой является, очевидно, D₂E₂. Для DАВС по горизонтальным проекциям 1₁ и 2₁ точек пересечения найдем их фронтальные проекции 1₂ и 2₂, соединив которые, получим фронтальную проекцию линии пересечения плоскости S и DАВС. Продлив линии D₂E₂ и 1₂ 2₂, найдем точку их пересечения N₂*, которая и является точкой пересечения плоскостей, заданных треугольниками. Надо заметить, что точка N₂* не принадлежит треугольникам, поэтому и является точкой пересечения не треугольников, а плоскостей, в которых лежат треугольники.

Аналогично, вводя дополнительную горизонтально–проецирующую плоскость S*, проходящую через сторону ВС треугольника АВС, найдем точку М₂ пересечения заданных треугольников.

Соединив точки N₂* и M₂, найдем фронтальную проекцию линии пересечения плоскостей треугольников АВС и DEF. Выделив участок N₂M₂ , лежащий в плоскости обоих треугольников, получаем фронтальную проекцию линии пересечения треугольников АВС и DEF. По токам N₂M₂, определяем и горизонтальную проекцию N₁M₁ линии пересечения заданных треугольников. Следует заметить, что дополнительные плоскости выбраны нами совершенно произвольно. Видимость сторон, а вместе с ними и отдельных частей треугольников определяется с помощью конкурирующих точек. Две такие точки уже имеются (2₁=3₁). Из рассмотрения фронтальных проекций, очевидно, что 2₁ невидимая. Значит, в этой точке прямая D₁E₁ выше В₁С₁, а следовательно, она выше по всей длине, так как плоскость треугольника DА₁В₁С₁ нигде не пересекает. Тогда с другой стороны от N₁M₁ плоскость треугольника D₁E₁F₁ будет ниже. Аналогично определяем видимость на фронтальной проекции, рассматривая кокурирующие точки 5 и 6 на скрещивающихся прямых DE и АВ (рис. 3.9). В случае затруднений в определении видимости можно использовать несколько пар скрещивающихся сторон заданных треугольников.

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое проецирующая плоскость?

2. В каком случае точка и прямая принадлежат плоскости?

3. Какие прямые называются главными линиями плоскости?

4. Условие параллельности прямой и плоскости.

5. В чем заключается метод вспомогательных секущих плоскостей?