Системы линейных уравнений

Рассмотрим три основных метода решения систем линейных уравнений: метод Крамера, метод Гаусса, матричный метод. Заметим, что метод Крамера и матричный могут применяться только для невырожденных систем, т. е. систем с определителем, неравным нулю. При этом система имеет единственное решение. Метод Гаусса более универсальный и позволяет решать как определенные системы (имеющие единственное решение), так и неопределенные системы, имеющие множество решений. Применяя преобразования метода Гаусса, можно ответить на вопрос: совместна ли система или вообще не имеет решений, найти ранг матрицы.

Пример 1.6. Решение системы методом Крамера.

Решить систему .

Строим матрицу системы, вычисляем её определитель:

∆ = = 45 + 1 + 12 – (–9 + (–6) + 10) = 63.

Построим определитель ∆₁ заменой 1-го столбца на столбец правых частей и вычислим:

∆₁ = = 18 + (–5) + 24 – (45 + (–12) + 4) = 0,
тогда переменная х находится по формуле х= = = 0.

Найдем ∆₂ заменой 2-го столбца на столбец правых частей:

∆₂= = 60 + (–2) + 30 – (– 12 + 12 + 25) = 63,

тогда переменная y находится по формуле y = = 1.

Найдем ∆₃ заменой 3-го столбца на столбец правых частей:

∆₃= = – 75 + (–4) + (–8) – (6 +10 + (–40)) = –63,

тогда переменная z находится по формуле z= = –1.

Ответ: (x, y, z) = (0, 1, –1).

Пример 1.7. Решение системы методом Гаусса.

Построим по данной системе расширенную матрицу системы .

Её необходимо с помощью элементарных преобразований привести к треугольному виду . Ниже главной диагонали должны быть нули.

Разрешены следующие элементарные преобразования, не меняющие пространства решений системы:

§ можно менять местами строки;

§ умножать строку на ненулевое число;

§ складывать или вычитать любые две строки, умноженные на любое число;

§ вычеркивать нулевые или пропорциональные строки.

Если в столбце есть 1, удобно переставить строки, поставив 1 на первое место. Умножим первую на 2, вычтем из второй:

~ .

Разделим 2-ю строку на 7, переставим с 3-й, первую умножим на 5, вычтем из второй, получаем:

~ .

Разделим 3-ю строку на 9 и вычтем 2-ю, имеем . Эта матрица приведена к треугольному виду. Первый этап закончен.

Построим теперь по ней систему уравнений: .

Приступаем ко второму этапу – обратный ход метода Гаусса. Находим из последнего уравнения z = –1; поднимаясь во второе и подставляя найденное z, находим y = 1; затем из первого находим х = 0. Итак, (x, y, z) = (0, 1, –1).

1.9. Определить ранг матрицы В (табл. 1.5).

 

Таблица 1.5

№
Матрица В	2 5 6 4 –1 5 2 –6 –1	1 2 1 4 0 5–1 4 –1 3 4 6	1 3 7 2 5 –1 0 4 8 3 3 6 10 –4 7	2 0 3 5 1 4 3 1 7 5 0 3 –5 –3 3 2 3 –2 2 4

Замечание. Для вычисления ранга матрицы удобно привести ее к треугольному виду с помощью элементарных преобразований. Количество ненулевых строк, оставшихся после приведения, равно рангу матрицы.

1.10. Решить систему уравнений различными методами. В таблице 1.6 указаны матрица системы А и столбец правых частей В.

 

Таблица 1.6

№	А	В

 

1.11. Исследовать систему на совместность и в случае совместности методом Гаусса найти общее решение, указать хотя бы одно базисное решение:

1) 2)

 

3) 4)

 

5) 6)

 

7) 8)

 

9)

 

10)

 

1.1.5. Построение моделей задач, сводящихся к системам линейных уравнений

 

Пример 1.8. Отца спросили, сколько лет двум его сыновьям. Тот ответил, что удвоенный возраст старшего сына на 18 лет превышает сумму возрастов обоих сыновей, а возраст младшего на 6 лет меньше разности их возрастов. Сколько лет каждому сыну?

Решение. Построим математическую модель задачи как систему двух уравнений с двумя неизвестными. Пусть х – возраст младшего сына, а у – возраст старшего сына. Имеем:

Ответ. Младшему сыну 12 лет, а старшему 30 лет.

1.12. Построить модели к старинным математическим задачам в виде системы уравнений и решить их.

1) В семье были и сыновья и дочери. Каждый сын имел столько братьев, сколько сестер, а каждая сестра имела в два раза больше братьев, чем сестер. Сколько сыновей и сколько дочерей имела эта семья?

2) Три цыпленка и одна утка проданы за ту же сумму, что и два гуся, а еще один цыпленок, две утки и три гуся проданы вместе за 25 долларов. Сколько стоит каждая птица, если цены выражаются целым числом долларов?

3) Некто купил 30 птиц за 30 монет. За каждых трех воробьев – 1 монета, за 2 горлицы – 1 монета, за 1 голубя – 2 монеты. Всего было куплено 30 птиц за 30 рублей. Сколько было птиц каждой породы?

4) Торговец скотом купил некоторое количество лошадей по 344 доллара и некоторое количество волов по 265 долларов. Он обнаружил, что все лошади обошлись ему на 33 доллара дороже, чем волы. Какое наименьшее количество лошадей и волов он мог купить при этих условиях?

5) Девять мальчиков и три девочки решили разделить поровну свои карманные деньги. Каждый мальчик передал одинаковую сумму каждой девочке, а каждая из девочек отдала также одинаковую (но другую) сумму каждому мальчику. У всех детей после этого денег стало поровну. Какова та наименьшая сумма, которая могла быть первоначально у каждого из них?

6) Одному человеку не без труда удалось уговорить Вилли-Лежебоку взяться за работу. Вилли должен был работать в течение 30 дней, получая по 8 долларов в день при условии, что за каждый день прогула он платит штраф 10 долларов. В конце месяца выяснилось, что никто никому не должен ни цента. Это обстоятельство окончательно убедило Вилли в том, что «работа дураков любит». Можете ли Вы сказать, сколько дней он работал, а сколько прогулял?

7) Фермер купил на рынке 100 голов скота на общую сумму 1000 долларов. Одна корова стоила 50 долларов, одна овца – 10 долларов и один кролик – 50 центов. Сколько денег израсходовал фермер на покупку коров, овец и кроликов в отдельности?

8) Когда одного мальчика спросили, сколько лет ему и его сестре, он ответил:

–Три года назад я был в 7 раз старше сестры, два года назад – в 4 раза, в прошлом году – в 3 раза, а в этом году я в 2,5 раза старше ее. Сколько лет мальчику и его сестре?

1.1.6. Применение элементов линейной алгебры
в экономике

Математические модели некоторых экономических задач могут быть записаны в виде систем линейных уравнений или матричных уравнений и решаться методами линейной алгебры и матричного анализа. Рассмотрим примеры таких задач [3, с. 107].

1.13. Обувная фабрика специализируется на выпуске изделий трёх видов: сапог, кроссовок и ботинок; при этом используется сырье трёх типов: S₁, S₂, S₃. Нормы расхода каждого из них на одну пару обуви и объем расхода сырья на один день заданы таблицей 1.7. Найти ежедневный объем выпуска каждого вида обуви.

Таблица 1.7

1.14. С двух фабрик поставляются меховые шкурки для двух ателье, потребности которых соответственно 200 и 300 шкурок. Первая фабрика выпустила 350 шкурок, а вторая – 150. Известны затраты на перевозку меха с фабрики в каждое ателье (табл. 1.8). Суммарные затраты на перевозку равны 7950 ден. ед.

Таблица 1.8

Найти план перевозок меха.