г.Москва 15-18 декабря 2014г. от Омской Области. Великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс, будучи гимназистом, обращал дроби вида 1/р, где р – простое число

2.1 Длина периода

Великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс, будучи гимназистом, обращал дроби вида 1/р, где р – простое число, отличное от 2 и 5, в бесконечные десятичные дроби: в каждом случае он с поразительным терпением ожидал, когда знаки начнут повторяться. Ему хотелось понять, как зависит длина периода такой дроби от р.

Мы в своей работе для вычисления длины периода использовали программу, написанную на языке Паскаль.

programdrobi;

vark,r,b:integer;

begin

write ('b='); readln(b);

k:=1;

r:=10;

while r <> 1 do

begin

r:=(10*r) mod b;

k:=k+1;

end;

write (k);

end.

И вот, что получилось.

р – знаменатель дроби (простое число, отличное от 2 и 5), L(p) – количество цифр в периоде.

р
L(p)

 

 

Т.о. из таблицы видно, что длина L(p) наименьшего периода для некоторых дробей совпадает с числом р – 1. А именно, L(p) = р – 1 для р = 7, 17, 19, 23, 47, 59, 61, 97, 109, 113 и т.д.. Конечно или бесконечно множество таких чисел по сей день неизвестно.

Также из таблицы видна еще одна закономерность: длина наименьшего периода является делителем числа р – 1

2.1 Эффект девятки

Рассмотрим записи обыкновенных дробей в виде периодических

Обыкновенная дробь Периодическая дробь
1/7 0,(124857)
2/7 0,(285714)
3/7 0,(428571)
4/7 0,(571428)
5/7 0,(714285)
6/7 0,(857142)

 

Обыкновенная дробь Периодическая дробь Обыкновенная дробь Периодическая дробь
1/11 0,(09) 6/11 0,(54)
2/11 0,(18) 7/11 0,(63)
3/11 0,(27) 8/11 0,(72)
4/11 0,(36) 9/11 0,(81)
5/11 0,(45) 10/11 0,(90)

 

Обыкновенная дробь Периодическая дробь Обыкновенная дробь Периодическая дробь
1/13 0,(076923) 7/13 0,(538461)
2/13 0,(153846) 8/13 0,(615384)
3/13 0,(230769) 9/13 0,(692307)
4/13 0,(307692) 10/13 0,(769230)
5/13 0,(384615) 11/13 0,(615384)
6/13 0,(461538) 12/13 0,(923076)

Удивительно, но какую бы дробь мы не взяли, сумма цифр периода кратна девяти:
для дробей со знаменателем 7 эта сумма равна 27 = 9 × 3;
для дробей со знаменателем 11: 9 = 9 × 1;
для дробей со знаменателем 13: 27 = 9 × 3;
для дробей со знаменателем 19: 81 = 9 × 9;
для дробей со знаменателем 31: 54 = 9 × 6;
для дробей со знаменателем 37: 9 = 9 × 1 или 18 = 9 × 2 и т. д.

Докажем это свойство. Рассмотрим дробь вида . При делении уголком числителя на знаменатель получаем: . Обозначим через r1, r2, r3 и т. д. rn – остатки, получаемые при делении. Тогда

10a = bq1 + r1,

10r1 = bq2 + r2,

10r2 = bq3 + r3

……………….

10rn-1 = bqn + rn

Из полученных равенств выразим q1, q2, q3 и т.д. и найдем сумму этих чисел. Получим:

,

,

,

……………..

,

q1 + q2 + q3 + … + qn = + + + … =

= ( т.к. числа начинают повторяться, то
a = rn) =
кратно 9.

2.2 Циклические сдвиги

Рассмотрим следующие разложения:

1/7 = 0,(142857),

2/7 = 0,(285714),

3/7 = 0,(428571),

4/7 = 0,(571428),

5/7 = 0,(714285),

6/7 = 0,(857142).

Периоды этих шести дробей начинаются сразу же после запятой и получаются друг из друга циклическим сдвигом. Случайно ли это?

Возьмем вместо 7, например, 41.

= 0,(02439).

«Прокрутим» период: 0,(24390) = .

Полученная дробь в 10 раз больше первоначальной. Посмотрим, что получится, если мы полученную дробь снова умножим на 10 и вычтем целую часть.

Получился замкнутый цикл из дробей, имеющих одинаковые цифры в периоде. Проведем аналогичные операции, взяв другую дробь.

Снова получился замкнутый цикл из дробей с одинаковыми цифрами в периоде, причем, количество дробей в цикле одинаково.

Таким образом, можно предположить, что десятичные дроби образуют замкнутые циклы, в которые входят дроби, имеющие одинаковые цифры в периоде, причем каждую последующую дробь можно получить из предыдущей умножением на десять с последующим вычитанием целой части.

2.3 Особенности числителей дробей цикла

Рассмотрим некоторые циклы.

Заметим, что сумма числителей дробей равна знаменателю: 1 + 10 + 26 = 34.

Заметим, что сумма числителей дробей равна удвоенному знаменателю: 7 + 33 + 34 = 74 = 37 × 2.

Заметим, что сумма числителей дробей равна утроенному знаменателю: 1 + 10 + 9 + 12 + 3 + 4 = 39 = 13 ×3.

Во всех случаях сумма числителей дробей, образующих цикл, кратна знаменателю. Проанализировав, полученные нами данные, мы заметили следующую закономерность: сумма числителей дробей цикла во столько раз больше знаменателя дроби, во сколько раз сумма цифр периода больше 9.

г.Москва 15-18 декабря 2014г. от Омской Области

 

 

ФИО Год рождения Спортивный разряд Паспортные данные ФИО тренера Виза, печать и подпись врача напротив каждой фамилии
Костякова Наталья МС 5209 785827 Мартынов В.А.  
Мартынова Ольга КМС 5214 371399 Мартынов В.А.  
Хомова Екатерина   КМС 5208 671085 Мартынов В.А.  
Жайлибаев Кайнар     КМС 5208 740733 Мартынов В.А.  
Киселев Илья   МС 5209 862316 Мартынов В.А.  
Курдяев Сергей III р   I-KH № 502161 Мартынов В.А.  
Гудалова Варвара   II р   Мартынова О.А    
Бычков Никита Толстокоренко Евгений II р II р 1-КН №600206 1-КН №557367 Мартынова О.А Мартынова О.А  
  Перешивка Влад II р 1-КН №559986 Мартынова О.А  
  Ефремова Анжелика II р I-КН № 677462 Мартынова О.А  
  Назарова Валя II р   Мартынова О.А  
  Нерсисян Арман II р I- КН № 624704 Галиуллина О.А  
  Герасимов Леонид II р I- КН № 673612 Галиуллина О.А  
  Саргсян Карен II р АА № 340173 Галиуллина О.А  
Шпринц Кристина II р   I-ЛО №746152 Костякова Н.А.  
Белкина Екатерина II р   I- КН № 559499 Мартынова О.А  
           
           
           
           

 

Всего допущено:   Официальным представителем команды является: Мартынов В. А.  
   

 

 


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
 | г.Москва 15-18 декабря 2014г. от Омской Области




Дата добавления: 2014-11-30; просмотров: 1061;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.019 сек.