Глава 2 Свойства периодических дробей

2.1 Длина периода

Великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс, будучи гимназистом, обращал дроби вида 1/р, где р – простое число, отличное от 2 и 5, в бесконечные десятичные дроби: в каждом случае он с поразительным терпением ожидал, когда знаки начнут повторяться. Ему хотелось понять, как зависит длина периода такой дроби от р.

Мы в своей работе для вычисления длины периода использовали программу, написанную на языке Паскаль.

programdrobi;

vark,r,b:integer;

begin

write ('b='); readln(b);

k:=1;

r:=10;

while r <> 1 do

begin

r:=(10*r) mod b;

k:=k+1;

end;

write (k);

end.

И вот, что получилось.

р – знаменатель дроби (простое число, отличное от 2 и 5), L(p) – количество цифр в периоде.

Т.о. из таблицы видно, что длина L(p) наименьшего периода для некоторых дробей совпадает с числом р – 1. А именно, L(p) = р – 1 для р = 7, 17, 19, 23, 47, 59, 61, 97, 109, 113 и т.д.. Конечно или бесконечно множество таких чисел по сей день неизвестно.

Также из таблицы видна еще одна закономерность: длина наименьшего периода является делителем числа р – 1

2.1 Эффект девятки

Рассмотрим записи обыкновенных дробей в виде периодических

Удивительно, но какую бы дробь мы не взяли, сумма цифр периода кратна девяти:
для дробей со знаменателем 7 эта сумма равна 27 = 9 × 3;
для дробей со знаменателем 11: 9 = 9 × 1;
для дробей со знаменателем 13: 27 = 9 × 3;
для дробей со знаменателем 19: 81 = 9 × 9;
для дробей со знаменателем 31: 54 = 9 × 6;
для дробей со знаменателем 37: 9 = 9 × 1 или 18 = 9 × 2 и т. д.

Докажем это свойство. Рассмотрим дробь вида . При делении уголком числителя на знаменатель получаем: . Обозначим через r₁, r₂, r₃ и т. д. r_n – остатки, получаемые при делении. Тогда

10a = bq₁ + r₁,

10r₁ = bq₂ + r₂,

10r₂ = bq₃ + r₃

……………….

10r_n-1 = bq_n + r_n

Из полученных равенств выразим q₁, q₂, q₃ и т.д. и найдем сумму этих чисел. Получим:

,

,

,

……………..

,

q₁ + q₂ + q₃ + … + q_n = + + + … =

= ( т.к. числа начинают повторяться, то
a = r_n) = кратно 9.

2.2 Циклические сдвиги

Рассмотрим следующие разложения:

1/7 = 0,(142857),

2/7 = 0,(285714),

3/7 = 0,(428571),

4/7 = 0,(571428),

5/7 = 0,(714285),

6/7 = 0,(857142).

Периоды этих шести дробей начинаются сразу же после запятой и получаются друг из друга циклическим сдвигом. Случайно ли это?

Возьмем вместо 7, например, 41.

= 0,(02439).

«Прокрутим» период: 0,(24390) = .

Полученная дробь в 10 раз больше первоначальной. Посмотрим, что получится, если мы полученную дробь снова умножим на 10 и вычтем целую часть.

Получился замкнутый цикл из дробей, имеющих одинаковые цифры в периоде. Проведем аналогичные операции, взяв другую дробь.

Снова получился замкнутый цикл из дробей с одинаковыми цифрами в периоде, причем, количество дробей в цикле одинаково.

Таким образом, можно предположить, что десятичные дроби образуют замкнутые циклы, в которые входят дроби, имеющие одинаковые цифры в периоде, причем каждую последующую дробь можно получить из предыдущей умножением на десять с последующим вычитанием целой части.

2.3 Особенности числителей дробей цикла

Рассмотрим некоторые циклы.

Заметим, что сумма числителей дробей равна знаменателю: 1 + 10 + 26 = 34.

Заметим, что сумма числителей дробей равна удвоенному знаменателю: 7 + 33 + 34 = 74 = 37 × 2.

Заметим, что сумма числителей дробей равна утроенному знаменателю: 1 + 10 + 9 + 12 + 3 + 4 = 39 = 13 ×3.

Во всех случаях сумма числителей дробей, образующих цикл, кратна знаменателю. Проанализировав, полученные нами данные, мы заметили следующую закономерность: сумма числителей дробей цикла во столько раз больше знаменателя дроби, во сколько раз сумма цифр периода больше 9.