Классический подход к понятию вероятности. В классическом походе к определению понятия вероятности рассматриваются частные случаи, в которых можно определить вероятность события без проведения большой

В классическом походе к определению понятия вероятности рассматриваются частные случаи, в которых можно определить вероятность события без проведения большой серии испытаний. Этот подход предложен французским математиком П. Лапласом (1749−1817 гг.) и применим он только для моделей случайных событий с равновозможными исходами. Например, при рассмотрении опытов с бросанием игральной кости или монеты подразумевается, что они идеально симметричны, изготовлены из однородного материала, никогда не станут на ребро и не укатятся из поля зрения наблюдателя.

Определение.Событие В называется благоприятствующим событию A, если его наступление в результате испытания всегда приводит к наступлению события A.

Пример 3.18.Рассмотрим опыт с бросанием игральной кости. Пусть событие B – выпадение двойки на верхней грани игральной кости, а событие A – выпадение четного числа. Реализация в результате испытания события B всякий раз влечет за собой наступление события A, следовательно, событие B является благоприятствующим событию A.

Пример 3.19. Рассмотрим опыт, связанный с бросанием игральной кости, имеющий конечное число равновозможных, образующих полную группу исходов. В данном опыте возможны следующие исходы: U₁ – выпадение на верхней грани единицы, U₂ – двойки, U₃ – тройки, … , U₆ – шестерки. Действительно, событияU₁, U₂, … , U₆ – попарно несовместны, т. к. в результате каждого испытания обязательно произойдет одно и только одно из этих событий.

При выполнении условия идеальной симметричности игральной кости (никакая из граней не утяжелена, грани кубика одинаковые и пр.) события U₁, U₂, … , U₆ в длинной серии испытаний реализуются с одинаковой частотой, т. е. являются равновозможными (равновероятными).

События, обладающие перечисленными свойствами, называются элементарными.

Определение.Элементарными событиями называются попарно несовместные, равновозможные события, образующие полную группу.

Совокупность элементарных событий называется пространством элементарных событий и обозначается Ω.

Пример 3.20.Рассмотрим опыт с бросанием монеты. Какие исходы в рамках данного опыта можно считать элементарными?

Элементарными являются следующие исходы (события): U₁ – выпадение орла, U₂ – выпадение решки. Действительно, если монета симметрична, то эти исходы являются равновозможными, попарно несовместными и образуют полную группу.

Пример 3.21. Рассмотрим опыт с бросанием двух монет. Какие исходы в рамках данного опыта можно считать элементарными?

С одной стороны, можно считать элементарными события: U₁ – выпадение на первой монете орла, U₂ – выпадение на первой монете решки, U₃ – выпадение на второй монете орла, U₄ – выпадение на второй монете решки. Действительно, перечисленные события удовлетворяют определению понятия элементарных событий.

С другой стороны, можно считать элементарными следующие события: H₁ – выпадение орла и на первой и на второй монетах, H₂ – выпадение решки и на первой и на второй монетах, H₃ – выпадение на первой монете решки, а на второй монете – орла, H₄ – выпадение на первой монете орла, а на второй монете – решки. События H_1, H_2, H₃ и H₄ также удовлетворяют определению понятия элементарных событий.

Необходимо отметить, что события U₁, U₂, U₃, U₄ и H_1, H_2, H₃, H₄ связаны между собой следующим образом:

H₁ =U₁× U₃, H₂ =U₂ × U₄, H₃ =U₂ × U₃, H₄ =U₁ × U_4.

Вывод.Оптимальный выбор элементарных событий часто значительно упрощает решение задачи.

Определение.Вероятностью события A называется отношение числа исходов N(A), благоприятствующих событию A, к полному числу элементарных исходов N:

(3.8)

Пример 3.22.Рассмотрим опыт с бросанием монеты. Найти вероятность выпадения орла. Обозначим через A событие, связанное с выпадением орла. В рамках условия задачи всего два элементарных исхода: U₁ – выпадение орла, U₂ – выпадение решки. Из них благоприятным событию A является только одно. С помощью формулы (3.8) найдем вероятность события A:

Пример 3.23.Рассмотрим элементарные исходы, связанные с бросанием двух монет: H₁ – выпадение орла и на первой и на второй монетах, H₂ – выпадение решки и на первой и на второй монетах, H₃ – выпадение на первой монете решки, а на второй монете – орла, H₄ – выпадение на первой монете орла, а на второй монете – решки. Можно ли считать исходы H₃ и H_4, связанные с выпадением на одной монете орла, а на другой – решки, в одном испытании? Поставленный вопрос можно сформулировать иначе: сколько существует в рамках этой задачи элементарных исходов 3 или 4?

При классическом подходе к понятию вероятности, когда проводят лишь мысленный эксперимент, ответить на поставленный вопрос невозможно. Однако результаты реальных экспериментов, связанных с достаточно большими сериями испытаний, позволяют утверждать, что при проведении опыта с бросанием более чем одной монеты, более чем одного кубика и пр., монеты, кубикии т. д.различимы. Таким образом, исходы H₃ и H₄являются различными исходами, следовательно, в рассматриваемой задаче 4 элементарных исхода. Следовательно, вероятности событий H₁ – выпадения орла и на первой и на второй монетах и H₂ – выпадение решки и на первой и на второй монетах равны, т. к. только один исход является благоприятствующим этим событиям, а всего элементарных исходов – четыре, используя формулу (3.8), получим:

Вероятность события H, связанного с выпадением на одной монете орла, а на другой – решки, т. е. события H = H₃ + H₄, равна 1/2, т. к. два исхода являются благоприятными этому событию, а всего элементарных исхода – четыре, используя формулу (3.8), получим:

3.26. Рассмотрим опыт с бросанием двух монет. Найти вероятность выпадения:

а) хотя бы одного орла;

б) хотя бы одной решки;

в) не менее одной решки.

3.27. При проведении испытания с бросанием игральной кости найти вероятность выпадения на верхней грани кости:

а) шести очков;

б) пяти очков;

в) менее одного очка;

г) не более двух очков;

д) хотя бы трех очков;

ж) не менее пяти очков.

з) не менее двух и не более пяти очков.