Решение матричных уравнений. Определение. Матрица А–1 называется обратной к матрице А, если А٠А–1 = А–1٠А = Е.
Определение. Матрица А–1 называется обратной к матрице А, если А٠А–1 = А–1٠А = Е.
Теорема. Для любой невырожденной квадратной матрицы существует единственная обратная матрица.
Обратная матрица находится по формуле:
, где Т – транспонирование матрицы, а – присоединенная матица, состоящая из алгебраических дополнений. Аij – это определитель матрицы меньшего порядка, получаемый из матрицы А вычеркиванием i-строки и j-го столбца, взятый со знаком .
Для матриц размера обратная матрица может быть найдена по формуле:
1.6. Найти обратные матрицы для следующих матриц (табл. 1.4)
Таблица 1.4
№ | |||||
Матрица | 1 2 3 4 | 3 4 5 7 | –3 2 4 2 1 0 1 0 1 | 2 5 7 6 3 4 5 –2 –2 | 1 2 3 0 1 2 0 0 1 |
1.7. При каких значениях матрица А не имеет обратной:
1) ; 2) ; 3) .
Пример 1.5. Решение матричного уравнения.
Пусть дано матричное уравнение
Нужно найти матрицу Х.
Обозначим А = , а В = , тогда имеем уравнение Х ٠ А = В. Умножим обе части справа на А–1:
Применяя ассоциативность умножения матриц,
При решении матричных уравнений важно следить за тем, с какой стороны нужно умножать, в силу неперестановочности умножения матриц.
Найдем матрицу А–1, предварительно вычислим определитель:
Найдем А = = = .
Итак,
Проверка: – верно.
1.8. Решить матричное уравнение:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) .
Дата добавления: 2014-12-14; просмотров: 668;