Классический подход к понятию вероятности
В классическом походе к определению понятия вероятности рассматриваются частные случаи, в которых можно определить вероятность события без проведения большой серии испытаний. Этот подход предложен французским математиком П. Лапласом (1749−1817 гг.) и применим он только для моделей случайных событий с равновозможными исходами. Например, при рассмотрении опытов с бросанием игральной кости или монеты подразумевается, что они идеально симметричны, изготовлены из однородного материала, никогда не станут на ребро и не укатятся из поля зрения наблюдателя.
Определение.Событие В называется благоприятствующим событию A, если его наступление в результате испытания всегда приводит к наступлению события A.
Пример 3.18.Рассмотрим опыт с бросанием игральной кости. Пусть событие B – выпадение двойки на верхней грани игральной кости, а событие A – выпадение четного числа. Реализация в результате испытания события B всякий раз влечет за собой наступление события A, следовательно, событие B является благоприятствующим событию A.
Пример 3.19. Рассмотрим опыт, связанный с бросанием игральной кости, имеющий конечное число равновозможных, образующих полную группу исходов. В данном опыте возможны следующие исходы: U1 – выпадение на верхней грани единицы, U2 – двойки, U3 – тройки, … , U6 – шестерки. Действительно, событияU1, U2, … , U6 – попарно несовместны, т. к. в результате каждого испытания обязательно произойдет одно и только одно из этих событий.
При выполнении условия идеальной симметричности игральной кости (никакая из граней не утяжелена, грани кубика одинаковые и пр.) события U1, U2, … , U6 в длинной серии испытаний реализуются с одинаковой частотой, т. е. являются равновозможными (равновероятными).
События, обладающие перечисленными свойствами, называются элементарными.
Определение.Элементарными событиями называются попарно несовместные, равновозможные события, образующие полную группу.
Совокупность элементарных событий называется пространством элементарных событий и обозначается Ω.
Пример 3.20.Рассмотрим опыт с бросанием монеты. Какие исходы в рамках данного опыта можно считать элементарными?
Элементарными являются следующие исходы (события): U1 – выпадение орла, U2 – выпадение решки. Действительно, если монета симметрична, то эти исходы являются равновозможными, попарно несовместными и образуют полную группу.
Пример 3.21. Рассмотрим опыт с бросанием двух монет. Какие исходы в рамках данного опыта можно считать элементарными?
С одной стороны, можно считать элементарными события: U1 – выпадение на первой монете орла, U2 – выпадение на первой монете решки, U3 – выпадение на второй монете орла, U4 – выпадение на второй монете решки. Действительно, перечисленные события удовлетворяют определению понятия элементарных событий.
С другой стороны, можно считать элементарными следующие события: H1 – выпадение орла и на первой и на второй монетах, H2 – выпадение решки и на первой и на второй монетах, H3 – выпадение на первой монете решки, а на второй монете – орла, H4 – выпадение на первой монете орла, а на второй монете – решки. События H1, H2, H3 и H4 также удовлетворяют определению понятия элементарных событий.
Необходимо отметить, что события U1, U2, U3, U4 и H1, H2, H3, H4 связаны между собой следующим образом:
H1 =U1× U3, H2 =U2 × U4, H3 =U2 × U3, H4 =U1 × U4.
Вывод.Оптимальный выбор элементарных событий часто значительно упрощает решение задачи.
Определение.Вероятностью события A называется отношение числа исходов N(A), благоприятствующих событию A, к полному числу элементарных исходов N:
(3.8)
Пример 3.22.Рассмотрим опыт с бросанием монеты. Найти вероятность выпадения орла. Обозначим через A событие, связанное с выпадением орла. В рамках условия задачи всего два элементарных исхода: U1 – выпадение орла, U2 – выпадение решки. Из них благоприятным событию A является только одно. С помощью формулы (3.8) найдем вероятность события A:
Пример 3.23.Рассмотрим элементарные исходы, связанные с бросанием двух монет: H1 – выпадение орла и на первой и на второй монетах, H2 – выпадение решки и на первой и на второй монетах, H3 – выпадение на первой монете решки, а на второй монете – орла, H4 – выпадение на первой монете орла, а на второй монете – решки. Можно ли считать исходы H3 и H4, связанные с выпадением на одной монете орла, а на другой – решки, в одном испытании? Поставленный вопрос можно сформулировать иначе: сколько существует в рамках этой задачи элементарных исходов 3 или 4?
При классическом подходе к понятию вероятности, когда проводят лишь мысленный эксперимент, ответить на поставленный вопрос невозможно. Однако результаты реальных экспериментов, связанных с достаточно большими сериями испытаний, позволяют утверждать, что при проведении опыта с бросанием более чем одной монеты, более чем одного кубика и пр., монеты, кубикии т. д.различимы. Таким образом, исходы H3 и H4являются различными исходами, следовательно, в рассматриваемой задаче 4 элементарных исхода. Следовательно, вероятности событий H1 – выпадения орла и на первой и на второй монетах и H2 – выпадение решки и на первой и на второй монетах равны, т. к. только один исход является благоприятствующим этим событиям, а всего элементарных исходов – четыре, используя формулу (3.8), получим:
Вероятность события H, связанного с выпадением на одной монете орла, а на другой – решки, т. е. события H = H3 + H4, равна 1/2, т. к. два исхода являются благоприятными этому событию, а всего элементарных исхода – четыре, используя формулу (3.8), получим:
3.26. Рассмотрим опыт с бросанием двух монет. Найти вероятность выпадения:
а) хотя бы одного орла;
б) хотя бы одной решки;
в) не менее одной решки.
3.27. При проведении испытания с бросанием игральной кости найти вероятность выпадения на верхней грани кости:
а) шести очков;
б) пяти очков;
в) менее одного очка;
г) не более двух очков;
д) хотя бы трех очков;
ж) не менее пяти очков.
з) не менее двух и не более пяти очков.
Дата добавления: 2014-12-14; просмотров: 772;