Математическая модель амбивалентных систем с переменными коэффициентами
Представляет большой интерес исследование поведение амбивалентной системы, когда параметры системы lи mявляются не постоянными, а переменными во времени величинами и более того, связаны с вероятностями состояний системы. Здесь, очевидно, возможны два варианта работы системы: прямо пропорциональная зависимость и обратно пропорциональная.
Рассмотрим вариант работы системы, когда интенсивности перехода пропорциональны вероятностям состояний. Этот случай представляет несомненный практический интерес. Не ограничивая общности рассмотрения, можно при исследовании считать равным единице коэффициент пропорциональности, тогда 
и система дифференциальных уравнений, описывающая этот случай становится нелинейной:
l= P (A), m= P(Ā),
P¢(A)t = - P 2(A)t + P(A)tP(Ā )t ,
P¢(AÚĀ)t = P 2(A)t – [ P (A)t + P (Ā)t ] P (AÚĀ )t + P 2(Ā)t
P¢(Ā)t = - P 2(Ā)t+ P (A)t P (AÚĀ )t
P(A)t + P (AÚĀ )t + P(Ā)t = 1 , P (A)0 = 1
На рис.2.25 показано решение данной нелинейной системы.
Рис. 2.25
Как видно из рисунка такая система также приходит в состояние равновесия, когда P(A)= P(Ā)= P(AÚĀ)= 0,333, но состояние смеси устанавливается раньше других, причем через точку перегиба: действительно, при t= 1,5 P(AÚĀ)=0,35 , а затем уже при t= 7 P(AÚĀ)=0.333.
Исследуем поведение данной системы на устойчивость. По аналогии с вариантом системы с постоянными коэффициентами, задаём приращение в точке равновесия
С учётом нормировочного условия получаем, что 
поэтому достаточно рассмотреть только изменения для 
и 
.
Для анализа устойчивости, достаточно линеаризовать полученные уравнения, осуществляя одновременно параллельный перенос
Находим собственные значения матрицы системы для осуществления ортогонального преобразования
Аналогично линейному случаю с учётом поворота оси координат
и система не устойчива, если 
Очевидно, что 
предполагаем, что 
тогда должно выполниться:
или
,
и, согласно нормировочному условию,
Значит положение, при котором
, а 
неустойчиво. При
бинарная система устойчива.
Первый вариант исследования поведения данной системы иллюстрирует принцип мирного сосуществования двух противоположностей.
Был проведен анализ второго варианта нелинейной системы с противоположностями, когда интенсивности перехода обратно пропорциональны вероятностям состояний:
l= 1/P (A)t , m= 1/P(Ā)t ,
P¢(A)t= -1 + P(AÚĀ)t/P(Ā)t ,
P(AÚĀ)t = 2 – (1/P(A)t + 1/P(Ā)t ) P(AÚĀ)t ,
P¢(Ā)t = -1 + P(Ā)t / P (A)t ,
P(A)0 = P (AÚĀ )0 = 0.3 P(Ā)0 = 0.4
На рис. 2.26 показаны результаты решения задачи. Система является неустойчивой и уже при малых значениях времени функционирования ( t£ 0,5 ) процесс расходится.
Рис. 2.26
Из рис.2.26 видно, что со временем начинает преобладать та противоположность, которая в начальный момент времени имеет большее значение:
при t=0 P(Ā)=0.4, тогда как P(A)= P(AÚĀ)= 0.333
и уже при t=0,7 P(Ā)=1.
Второй вариант иллюстрирует поведение амбивалентной системы с противоречиями, носящими антагонистический характер, когда одна противоположность существенно подавляет другую.
Дата добавления: 2014-12-12; просмотров: 753;