Теория знаковых графов, как математический аппарат для описания особенностей поведения в сложных системах с противоречивыми отношениями

Представляет интерес провести математический анализ на наличие устойчивости и равновесия для систем, когда число участников более двух в коллективе, имеющих взаимно противоречивые отношения. Здесь можно ожидать появление ряда интересных особенностей вызванных действием указанных выше законов и, в первую очередь, закона перехода количества в качество: конфликтность ситуации, группировка между отдельными элементами, поглощение и др.

Одна из известных математических теорий, описывающих конфликтные ситуации при принятии коллективных решений, так и называется теорией конфликтов, ярким представителем которой является Ю.Б.Гермейер [14].

Он впервые сформулировал те свойства для конфликтных ситуаций, при которых достигалось бы равновесие и устойчивость коллективного решения. Как отмечалось в работе [12] в состоянии просто устойчивого равновесия компромисс часто бывает неэффективным (например, малый выход продукта в обратимых химических реакциях). Поэтому нужно искать другой эффективный компромисс, который был бы выгоднее старого компромисса, одновременно для всех участников коллектива [14].

Как указывается в работе [14,15] « ахиллесова пята теории коллективных решений состоит в том, что в общем случае конфликты неразрешимы». Это значит, что если конфликтная ситуация не обладает определенным свойством, то, либо устойчивые компромиссы неэффективны, либо эффективные компромиссы неустойчивы, либо вообще не существует эффективных и устойчивых коллективных решений.

Заслуга Ю.Б.Гермейера в том, что он эти условия сформулировал и образно назвал их ситуацией « путешественники в одной лодке». Определяющей особенностью этой ситуации является наличие некоторой общей монотонной целевой функции, когда ее нет, нет и общего компромисса.

На наш взгляд одной из определяющих особенностей коллективов с противоречивыми отношениями является возникновение группировок, когда часть членов объединяются между собой. В качестве примера рассмотрим ситуацию из трех индивидуумов, в которой каждая пара может прийти к согласию, разногласию, либо их позиции неизвестны. Для такого коллектива вводится понятие «равновесной» и «неравновесной» систем [15]. Изображая такие соотношения в виде графов, получивших название «знаковых» (в некоторых переводах «помеченных»), отмечались как «равновесные», графы, показанные на рис.2.27

С С

+ + - -

А + В А + В

Рис.2.27,

в которых между А,В,С, - полное согласие (левый граф) или А и В пришли к соглашению, но не согласны с С (правый граф) и неравновесные графы, показанные на рис.2.28

С С

+ - - -

А + В А - В

Рис.2.28,

которые описывают согласие А с С и А с В, но оппозицию С с В (левый граф) или полное несогласие всех индивидуумов между собой (правый граф).

Предлагается социальную систему, представимую в виде знакового графа любого размера считать «равновесной», если множество вершин графа можно разбить на два подмножества так, чтобы ребра, соединяющие вершины внутри каждого из подмножеств, были положительны, а ребра, соединяющие вершины разных подмножеств, были отрицательны. На рис.2.27 (левый граф) - одно подмножество пустое, на рис.2.27 (правый граф) – одно подмножество АВ и второе С; на рис.2.28 таких подмножеств нет.

На рис.2.29 показана неравновесная система из пяти элементов:

А + В

+

Е - +

+

Д - С

Рис.2.29

Во многих ситуациях «неравновесная» система стремится перестроиться в «равновесную», так как некоторые члены коллектива могут менять свое мнение. Это возможно, если существует общая целевая функция и есть стремление к разрешению конфликта. Изменившееся мнение приведет к изменению графа, как показано на рис.2.30, где неравновесный граф( рис.2.29), путем изменения ребра АВ на противоположное (взаимоотношение А с В) приводит систему к равновесной

А - В

+

Е - +

+

Д - С

Рис.2.31

Достаточно хорошо развитая область математики - теория графов позволяет в каждом конкретном случае решать вопрос о равновесии в системе.

Однако многие проблемы, условно называемые «устойчивостью», не могут быть решены разбиением на две группировки. Можно рассмотреть разбиение элементов системы на несколько подмножеств, при этом положительные взаимоотношения имеют место только внутри каждого подмножества. Такое представление приводит опять к знаковым графам и задача анализа при этом называется проблемой «группировки» [16].

Знаковый граф (система) называется группируемым, если множество его вершин можно представить в виде подмножеств так, что внутри подмножества все ребра положительны, а сами подмножества соединены отрицательными ребрами. Такой граф приведен на рис.2.32

В + Е

+ - - - -

А - С - Д + Ж

Рис.2.32

Группы АВЕ, С, ДЖ составляют равновесную систему, а граф является группируемым.

Наконец, если лицо А положительно относится к В, а В к А отрицательно или неизвестно ничего о его симпатиях, то такая структура представима в виде ориентированного графа, показанного на рис.2.33:

А + В

_

+ + +

С

Рис.2.33

Вводя более сложные понятия взаимоотношений между членами системы: от неприятия, недоверия, безразличия до симпатии и несомненного доверия, можно разбивать вершины графов на множества и подмножества, рассматривая теоретико-множественную модель общества.