Позиционные системы счисления. Система счисления называется позиционной,если количественный эквивалент каждой цифры определяется не только видом символа

Система счисления называется позиционной,если количественный эквивалент каждой цифры определяется не только видом символа, ее изображающего, но и ее положением в записи числа. При этом место цифры в записи числаназывается разрядом.

Классическим примером позиционной системы счисления является десятичная система счисления.

В таблице 1 приведены примеры некоторых, наиболее часто употребляемых, позиционных систем счисления.

Таблица 1

Одним из основных понятий в позиционных системах счисле­ния являетсявес разряда. Весом j-го разряда для позиционной системы счисления называется отношение количественного эквивалента цифры x_i, стоящей в j-м разряде, к количественному эквиваленту той же цифры, стоящей в нулевом разряде:

Число, указывающее сколько единиц младшего разряда содержится в единице старшего разряда,называетсяоснованием позиционной системы счисления.

Существует связь между основанием системы счисления и числом цифр, используемых в системе счисления (это видно из таблицы 1): для представ­ления любого числа конечным числом разрядов в системе счис­ления с основанием K достаточно иметь K цифр. Обычно эти Kцифр составляют отрезок натурального ряда целых положитель­ных чисел, включая 0. Таким образом, алфавит K-ичной системы счис­ления имеет вид {0, 1, 2, ..., K-1}.

Любое число Х в К-ичной позиционной системе счисления можно представить в виде полинома от основания К:

Х_(К) = x_n-1K^n-1 + x_n-2K^n-2 + … + x₁K + x₀K⁰ + x_-1K^-1 + x_-2K^-2 + … + x_-mK^-m =

= (1)

где x_i – значение цифры в i – ом разряде;

K_i – основание системы счисления;

n,m – число разрядов в целой и дробной части числа, соответственно;

i – порядковый номер разряда.

Основание системы счисления обычно указывают (при необходимости) в виде десятичного индекса справа в нижней части числа.

Приме­ры:

23,43 ₍₁₀₎ = 2×10¹ + 3×10⁰ + 4×10^-1 + 3×10^-2

(в данном примере знак «3» в одном случае означает число единиц, а в другом - число сотых долей единицы);

451,2 ₍₈₎ = 4×8² + 5×8¹ + 1×8⁰ + 2×8^-1.

Краткая запись числа представляется последовательностью цифр, каждой из которых можно поставить в соот­ветствие определенную позицию. Обычно позиции, предназначенные для представления целой части числа, отделяют от позиций, предназначенных для представления дробной части числа – запятой:

Х_(К) = x_n-1 x_n-2 … x₁ x₀, x_-1 x_-2 … x_-m.

Запятая сама позиции не занимает, а является началом отсчета номера позиции: все позиции влево от запятой, предна­значенные для хранения целой части числа, нумеруются в поряд­ке возрастания натурального ряда чисел 0, 1, 2, ..., п-1, а все позиции вправо от запятой, предназначенные для хранения дробной части числа, нумеруются целыми отрицательными числами - 1, - 2, ...., - т. Таким образом, позиция цифры с присвоенным ей номером называетсяразрядомчисла.

На рисунке 1 показана нумерация разрядов в разрядной сетке ЭВМ, включающей п разрядов для представления целой и т раз­рядов – для представления дробной части числа. Под разрядной сеткой ЭВМпонимают общеечисло разрядов, отводимое для представления как целой, так и дробной части числа в цифровой вычислительной ма­шине.

Рисунок 1- Нумерация разрядов в разрядной сетке ЭВМ