Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве

Вектор – отрезок, имеющий определенную длину и направление. Любой вектор можно разложить по ортам координатных осей:

, где

х, у, z – проекции вектора на оси координат, - орты (единичные векторы координатных осей).

Модуль (длина) вектора определяется по формуле:

(3.1.1)

Если известны координаты начала и конца В( )вектора, то вектор можно записать следующим образом:

(3.1.2)

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется произведение их модулей на косинус угла между ними:

Отсюда нетрудно определить угол между векторами

. (3.1.3)

Если векторы и заданы своими проекциями = и = , то скалярное произведение находится по формуле:

. (3.1.4)

Векторы ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю, т.е.:

. (3.1.5)

Векторным произведением двух векторов называется вектор , определяемый условиями:

1) вектор перпендикулярен векторам и , т.е. , ;

2) векторы , и образуют правую тройку;

3) длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т.е.

Для векторов, заданных проекциями = и = , векторное произведение имеет вид:

. (3.1.6)

Отсюда, условие коллинеарности векторов:

. (3.1.7)

Смешанным произведением трех векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор , т.е.:

( ) .

Геометрически модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , и , как на ребрах.

Если векторы заданы проекциями = , = и = , то смешанное произведение имеет вид:

. (3.1.8)

Условие компланарности (принадлежности трех векторов одной плоскости или параллельности плоскостям), имеет вид:

. (3.1.9)

Знание векторной алгебры во многом упрощает решение задач по аналитической геометрии в пространстве.

Так, уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М( ), перпендикулярно вектору имеет вид:

. (3.1.10)

Уравнение плоскости, проходящей через три точки: А( ), В( ), и С( ), имеет вид:

(3.1.11)

Канонические уравнения прямой в пространстве имеют вид:

, (3.1.12)

где ( )-точка, через которую проходит прямая; -проекции направляющего вектора прямой.

Уравнения прямой, проходящей через две точки, определяются так:

. (3.1.13)

Если прямая вида (3.1.12) перпендикулярна плоскости, заданной общим уравнением: , то выполняется условие:

. (3.1.14)

Рассмотрим несколько примеров применения изложенных выше теоретических положений.

Пример 6.

Записать вектор в системе орт и найти его модуль, если А(1, 2, 3);

В(0, 1, 5).

Решение.

Используя формулу (3.1.2) получим:

=(0-1) = .

Используя формулу (3.1.1), найдем модуль этого вектора:

(ед.дл.)

Пример 7.

Найти угол между векторами и .

Решение.

Используя формулу (3.1.3), получим:

что соответствует углу .

Пример 8.

Найти площадь треугольника, образованного двумя векторами и

, выходящими из одной точки.

Решение.

Площадь треугольника, построенного на векторах и , равна половине площади параллелограмма, построенного на этих же векторах как на сторонах, т.е. равна модуля векторного произведения векторов и :