Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа относится к узлу и гласит, что алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю.

Где i - номер тока; n- количество токов, сходящихся в узле.

Второй закон Кирхгофа относится к контуру и гласит, что алгебраическая сумма ЭДС, действующих в контуре, равна алгебраической сумме падений напряжений в том же контуре.

где i - номер ветви контура; n - число ветвей, входящих в контур.

Законы Кирхгофа применяют для расчета сложных разветвленных цепей, включающих в себя несколько источников энергии.

При сложном разветвленном соединении сопротивлений и одном источнике схему целесообразно приводить к простейшему виду (Рис 2.1) и при анализе электрических цепей использовать метод эквивалентных преобразований.

Рис 2.1

Пример решения 1

Используя метод эквивалентных преобразований, найти ток, протекающий в резисторе (рис.2.2 а), если

а б

Рисунок 2.2 а – цепь по условию задачи; б – упрощенная цепь.

Решение:

1. Находим в схеме (рис. 2.2 а) элементы , соединенные параллель­но, и заменяем их эквивалентными. Схему при необходимости перечертим.

2. Находим в схеме элементы , соединенные последовательно, и заменяем их эквивалентными.

3. Такую замену будем производить до тех пор, пока схема не примет вид (рис. 2.2 б).

Тогда

Первый этап: соединены параллельно, также соединены параллельно. Следовательно,

R_э2=2.4 Ом

Второй этап: соединены последовательно.

Значит

Третий этап: соединены параллельно. Следовательно,

Четвёртый этап: , соединены последовательно. Значит,

При расчете сложных цепей с большим количеством источников энергии рациональнее использовать метод контурных токов, позволяющий почти вдвое сократить количество уравнений.

Пример решения 2

Методом контурных токов найти токи в ветвях цепи (рис.2.3), если R₁ = R₃ = R₆ = 5Ом; R₂ = R₄ = 1Ом; Е₁ = Е₂ = 10B; Е₃ = 5В.

Рис 2.3.

Решение

1. Задаем направление токов в ветвях.

Число узлов п = 4, число ветвей п = 6. Следовательно, число независимых контуров . Исходя из этого, составляем систему из трех уравнений:

3. Контурные сопротивления будут равны:

Ом
Ом
Ом

4. Сопротивления смежных ветвей будут равны:

Ом
Ом
Ом

5. Контурные ЭДС равны:

В, В, В

6. В общем виде система уравнений выглядит так:

7. Подставляя численные значения, получим:

8. Считаем определители:

; ; ; .

9. Определяем контурные токи:

А;
А;
А;

10. Выразим токи в ветвях через контурные токи. Получим:
А;
А;
А;
А;
А;

11. Проверим правильность решения задачи по 1-му закону Кирхгофа. Получим:
для узла а) ;

для узла с) ;

Пример решения 3

Рис. 2.4. Расчет цепи по закону Ома

Для цепи, (рис. 2.4), найти токи во всех ветвях, оп­ределить ЭДС ис­точника Е и показа­ния приборов, если: R₀ = 0,15 Ом; R₁ = 0,7 Ом; R₂ = 40 Ом; R₃ = 8 Ом; R₄ = 4 Ом; R₅ = 2,4 Ом; R₆ = 4 Ом; I₂ = 0,25А.

Решение.

1. В соответствиис положительным направлением ЭДС – Е укажем направления токов во всех ветвях

2. По закону Ома для участка цепи найдем напряжение на резисторе R₂

3. Таккак R₃ и R₂ подключены к одной паре узлов а-b, то напряжение на резисторе R₃ равно U₂, и тогда I₃ можно найти по закону Ома для участка цепи

4. На основании первого закона Кирхгофа для узла “b” имеем

5. Если сопротивлением амперметра пренебречь, то напряжение на участке будет равно и тогда

6. На основании норного закона Кирхгофа для узла "а" можно записать:

7. На участке R₁-R₀-E-R₆ все элементы включены последовательно и тогда

8. Напряжение на резисторе R₆ найдем на основании закона Ома

9. На основании второго закона Кирхгофа показание вольтметра

10. На основании второго закона Кирхгофа ЭДС источника

Электрические цепи переменного тока.Ток, величина и направление которого изменяются во времени, называется переменным. Из всего многообра­зия переменных токов наибольшее распространение получил ток, изменяющий­ся по синусоидальному закону. Синусоидальные токи возникают в цепях под действием синусоидальных ЭДС и напряжений .

Значение синусоидального тока в данный момент времени называется мгновенным (обозначается i).

Максимальное значение синусоидального тока называется амплитудным (обозначается I_m).

Действующим значением синусоидальною тока называется такой постоянный ток, который за время одного периода выделяет такое же количество теп­ла, что и данный переменный ток (обозначается I). В действующих значениях градуированы вольтметры и амперметры. Действующие и амплитудные значе­ния связаны следующим соотношением:

При анализе электрического состояния цепей расчет токов ведут либо для действующих, либо для амплитудных значений. Наиболее общим методом рас­чета цепей синусоидального тока является символический. В этом случае си­нусоидальная величина изображается вращающимся вектором, положение ко­торого на комплексной плоскости в данный момент времени описывается ком­плексным числом (символом).

Существует три формы записи комплексных чисел: алгебраическая, показательная и тригонометрическая.

В алгебраической форме комплексное число записывается в виде многочлена, например:

A=а+jb,

где а - проекция вектора на ось действительных величии;

b - проекция вектора на ось мнимых величин;

j - мнимая единица.

Алгебраическая форма записи удобна для сложения и вычитания ком­плексных чисел.

В показательной форме комплексное число записывается и виде.

где - модуль комплексного числа,

- угол, образуемый вектором с поло­жительным направлением оси действующих величин.

Показательная форма записи удобна для умножения и деления комплекс­ных чисел.

В тригонометрической форме комплексное число записывается в виде многочлена

.

Тригонометрическая форма записи позволяет легко перейти от показательной формы записи к алгебраической. При символическом расчете все уравнения для цепей постоянного тока остаются справедливыми и для цепей переменного тока с той только разницей, что все величины, входящие в них, берутся в ком­плексной форме.

Пример решения 1.

Для цепи, изображенной на рис. 2.5 , по данным значениям напряжения и сопротивлений определить показания приборов, а также полную и реактивную мощности, построить векторную диаграмму.

Начальную фазу напряжения принимают равной нулю, тогда комплекс приложенного напряжения будет равен

,

а комплексная амплитуда напряжения

.

Рис. 2.5. Параллельная цепь переменного тока

Комплекс полного сопротивления последовательно соединенных элемен­тов

R, L и C:

.

Отсюда комплексы полного сопротивления ветвей:

.

По закону Ома определяют комплексные амплитуды токов в ветвях:

По первому закону Кирхгофа находят ток в неразветвленной части цепи:

; .

Определяют комплексную мощность цепи. Комплексной мощностью называется произведение комплекса напряжения на сопряженный комплекс тока I^* . Сопряженные комплексы:

Действительная часть комплексной мощности есть активная мощность Р, а мнимая часть - реактивная мощность, Q.

Рис. 2.6. Векторная диаграмма параллельной цепи

Построение векторной диаграммы начинают с выбора масштаба по току и напряжению.

В выбранных масштабах откладывают векторы напряжения и токов в соот­ветствии с рассчитанными значениями. Отсчет углов ведут от оси +1.

Положи­тельные углы откладывают в направлении, противоположном движению часо­вой стрелки. Вектор тока в неразветвленной части цепи находят сложением век­торов тока I_m1 и _Im2.

Пример решения 2.

В цепи, представленной на рис. 2.7 , действует напряжение , час­тотой 50 Гц. Найти показания приборов, реактивную и полную мощности, по­строить векторную диаграмму, если U_m=282 В, R=3 Ом, L=19,1 мГн, С=1592,4 мкФ.

Рис. 2.7. Последовательная цепь переменного тока

Решение

1. Так как вольтметр градуирован в действующих значениях, напряжение на зажимах цепи будет равно:

2. Реактивное сопротивление индуктивности L

Комплекс индуктивного сопротивления

3. Реактивное сопротивление емкости С

Комплекс емкостного сопротивления

4. Комплекс полного сопротивления цепи

5. Начальную фазу напряжения, приложенного к зажимам цепи, принимают равной нулю, тогда комплексная амплитуда напряжения на зажимах цепи

6. Комплексная амплитуда тока находится по закону Ома

Показание амперметра .

7. Комплексная амплитуда напряжения на участке R

Показание вольтметра на участке R

8. Комплексная амплитуда напряжения на участке L

Показание вольтметра на участке L

9. Комплексная амплитуда напряжения на участке С

Показание вольтметра на участке С

Рис. 2.8. Векторная диаграмма последовательной цепи

10. Комплексная полная мощность цепи:

Полная мощность S=8000 ВА.

Действительная часть комплексной полной мощности есть показание ватт-метра

P=4814,5 Вт.

Мнимая часть комплексной полной мощности есть мощность реактивная

Q=6389 Вар

11. Разность фаз между напряжением и током

12. Показание фазометра

При построении векторной диаграммы в выбранных масштабах тока и на­пряжения строят векторы тока и напряжений, комплексные амплитуды которых рассчитаны. Положительные углы отсчитываем от оси действительных величин в направле­нии, противоположном движению часовой стрелки.

Вектор напряжения, приложенного к зажимам цепи, находится путем сло­жения U_mR U_mL и U_mC по правилам сложения векторов.

Трехфазные электрические цепи. Совокупность электрических цепей, в которых одним источником энергии создаются три синусоидальные электро­движущие силы одинаковой частоты и амплитуды, векторы которых сдвинуты относительно друг друга на угол 120°, называется трехфазной системой или трехфазной цепью. Каждая из цепей, входящих в трехфазную систему, называ­ется фазой; обозначения фаз - А, В, С. Токи, протекающие в фазах приемника, называются фазными.

Трехфазные приемники могут быть включены звездой или треугольни­ком; они могут быть симметричными или несимметричными. Приемник назы­вается симметричным, если комплексы полных сопротивлений его фаз равны, т.е. Z_a=Z_b=Z_c.

Звезда - это такое соединение, при котором концы фаз, обозначаемые бук­вами х, у, z, соединяются в один узел, который называется нейтральной точкой,а начала фаз, обозначаемые буквами а, b, с, соединяются с источником. Нейтральная точка приемника соединяется с нейтральной точкой источника. Провода, соединяющие начала фаз приемника и источника, называются линейными; в них протекают линейные токи. Провод, соединяющий нейтральные точки, называется нейтральным, или нулевым.

Треугольник - это такое соединение, при котором конец предыдущей фа­зы соединяется с началом последующей.

Одним из достоинств трехфазных систем является наличие двух рабочих напряжений - фазного и линейного.

Фазным напряжением называется напряжение между началом и концом одной и той же фазы.

Линейным напряжением называется напряжение между началами двух фаз.

Для приемников, включенных по схеме "звезда" с нейтральным проводом, выполняются следующие соотношения:

Ток в нейтральном проводе может быть найден также из векторной диа­граммы.

Для приемников, включенных по схеме треугольник, выполняются соотношения:

Однако, если приемник несимметричный, линейные токи указанному со­отношению не подчиняются и могут быть найдены либо аналитически, как раз­ности комплексов фазных токов:

либо из векторной диаграммы.

Здесь I_A, I_B, I_C - комплексы токов в линейных проводах;

I_a, I_b, I_c - комплексы фазных токов в фазах приемника.

При расчете комплексов токов в фазах приемника они определяются от­дельно для каждой фазы на основании закона Ома.

Здесь , , - комплексы фазных напряжений;

Z_a, Z_b, Z_c - комплексы полных сопротивлений фаз.

Пример решения 1

Для активно-индуктивного приемника, включенного по схеме "звезда" с нейтральным проводом (рис. 2.9) в сеть с линейным напряжением U_л=380 В, найти фазные и линейные токи, а также ток в нейтральном проводе, активные мощности отдельных фаз и активную мощность приемника, если R_a=3 Ом, R_b=4 Ом, R_c=6 Ом, Х_a=4 Ом, Х_b=3 Ом, Х_c=8 Ом.

1. Находят действующее значение фазного напряжения

2. Начальную фазу напряжения в фазе "а" принимают равной нулю, тогда комплексы фазных напряжений будут:

3. Определяют комплексы полных сопротивлений фаз приемника:

4. Вычисляют комплексы фазных токов:

5. Так как приемник включен «звездой», линейные токи равны фазным

Рис. 2.9. Трехфазная цепь

6. Находят ток в нейтральном проводе

Действующее значение тока в нейтральном проводе:

7. Определяют комплексные полные мощности фаз приемника

Активная мощность фазы "а": Р_а=5825 Вт.

Реактивная мощность фазы "а": Q_a=7730 Вар.

Активная мощность фазы "b": Р_b=7730 Вт.

Реактивная мощность фазы "b": Q_b=5825 Вар.

Активная мощность фазы "с": P_c=2912 Вт.

Реактивная мощность фазы "с": Q_c=3865 Bap.

8. Вычисляют активную мощность приемника.

Активная мощность трехфазного приемника равна сумме активных мощ­ностей отдельных фаз.

Для удобства построения векторной диаграммы поворачивают оси коорди­нат на 90⁰ в направлении, противоположном движению часовой стрелки.

В выбранном масштабе откладываются векторы фазных напряжений. Векторы фазных напряжений строят в соответствии с расчетными значениями комплексов фазных токов. Положительные углы откладывают в

Рис. 2.10. Векторная диаграмма трехфазной цепи

сторону, проти­воположную движению часовой стрелки, от оси действительных величин. Век­тор тока в нейтральном проводе находится сложением векторов фазных токов по правилам сложения векторов.