Законы Кирхгофа

Для расчета сложных цепей (содержащих два и более источников энергии) применяют методы, которые основаны на двух законах Кирхгофа. Законы применимы как для анализа цепей, так и для расчетов элементов и определения параметров цепей. В сложных цепях выделяют контуры, узлы (геометрические узлы, см. предыдущий рисунок, имеющие одинаковые потенциалы, объединяются в один), ветви (участки цепи между узлами - см. сложную цепь ниже).

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю, т.е. .

При составлении уравнений пользуются правилом: если ток входит в узел, то его в уравнение подставляют со знаком «+», если выходит - «-»:

,

то есть сумма токов приходящих к узлу цепи равна сумме токов уходящих из узла.

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма ЭДС, действующих в замкнутом контуре, равна алгебраической сумме падений напряжений на сопротивлениях этого контура:

.

Приведем правила составления уравнений по второму закону Кирхгофа. Для примера возьмем схему замещения электропитания автомобиля, см. рисунок. На схеме Е₁ и Е₂ соответственно ЭДС аккумуляторной батареи и электрического генератора, а Е₃ - противо ЭДС стартерного электродвигателя. R_i сопротивления соединительных проводников.

Цепь содержит три контура, однако уравнения по второму закону составляются только для независимых контуров. Независимым называется контур, который содержит хотя бы одну ветвь, не вошедшую в предыдущие контуры. Независимых контуров в приведенной цепи два.

Уравнения составляют в следующей последовательности:

− произвольно выбираем направление токов ветвях (направления токов обозначены стрелками);

− составляем уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов. Количество уравнений n должно быть равно количеству узлов m без одного (n=m-1). Например, для верхнего узла:

;

− произвольно задаемся направлением обхода контуров (например, против часовой стрелки);

− составляем уравнения по второму закону Кирхгофа для независимых контуров. При составлении пользуются правилами: если направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура, то в уравнение она подставляется со знаком «+», в противном случае с «-»; если направление тока в сопротивлении совпадает с направлением обхода контура, то падение напряжения подставляется со знаком «+», в противном случае со знаком «-».

Таким образом, для контуров I и II:

.

Получена система из трех уравнений, решая которую получим значения искомых токов.

Если в результате решения один из токов окажется отрицательным, то этот ток имеет направление, противоположное избранному на схеме. Кроме того, правильность вычисления токов можно проверить, составив уравнение по первому закону Кирхгофа (1.3) для узла схемы:

.

В качестве примера рассмотрим цепь, схема которой приведена на рис. 4. Схема цепи содержит 6 ветвей (m=6) и 4 узла: a, b, c, d (n=4). По каждой ветви проходит свой ток, следовательно число неизвестных токов равно числу ветвей, и для определения токов необходимо составить m уравнений. При этом по первому закону Кирхгофа (1.3) составляют уравнения для (n–1) узлов. Недостающие m–(n–1) уравнения получают по второму закону Кирхгофа (1.4), составляя их для m–(n–1) взаимно независимых контуров. Рекомендуется выполнять операции расчета в определенной последовательности.

Рис. 4

1. Обозначение токов во всех ветвях. Направление токов выбираем произвольно, но в цепях с источниками ЭДС рекомендуется, чтобы направление токов совпадало с направлением ЭДС.

2. Составление уравнений по первому закону Кирхгофа. Выбираем 4–1=3 узла (a, b, c) и для них записываем уравнения:

узел a: I₁ - I₂ - I₃ = 0;

узел b: I₂ - I₄ + I₅ = 0;

узел c: I₄ - I₅ + I₆ = 0.

3. Составление уравнений по второму закону Кирхгофа. Необходимо составить 6–3=3 уравнения. В схеме на рис. 4 выбираем контура I, II, III и для них записываем уравнения:

контур I: E₁ = I₁(r₀₁ + R₁) + I₃R₃;

контур II: 0 = I₂R₂ + I₄R₄ + I₆R₇ - I₃R₃;

контур III: -E₂ = -I₅(r₀₂ + R₅ + R₆) - I₄R₄.

4. Решение полученной системы уравнений и анализ результатов. Полученная система из шести уравнений решается известными математическими методами. Если в результате расчетов численное значение тока получено со знаком «минус», это означает, что реальное направление тока данной ветви противоположно принятому в начале расчета. Если в ветвях с ЭДС токи совпадают по направлению с ЭДС, то данные элементы работают в режиме источников, отдавая энергию в схему. В тех ветвях, где направления тока и ЭДС не совпадают, источники ЭДС работает в режиме потребителя.

5. Проверка правильности расчетов. Для проверки правильности произведенных расчетов можно на основании законов Кирхгофа написать уравнения для узлов и контуров схемы, которые не использовались при составлении исходной системы уравнений:

узел d: I₃ + I₆ - I₁ = 0

внешний контур схемы: E₁ - E₂ = I₁(r₀₁ + R₁) + I₂R₂ - I₅(r₀₂ + R₅ +R₆) +I₆R₇.