Необходимые и достаточные условия устойчивости линейных стационарных систем
Пусть известна математическая модель системы, описывающая свободное движение системы в виде однородного дифференциального уравнения:
(1)
или разностного уравнения
(1΄)
и пусть x — это отклонение интересующей нас переменной от её значения в равновесном режиме. Тогда система будет устойчива, если выполняется условие (2)
или (2΄)
При каких условиях выполняется равенство (2)?
Уравнениям (1) и (1΄) соответствуют характеристические уравнения:
… (3)
… (3΄)
Если корни si уравнения (3) различны, то решение уравнения (1) может быть записано следующим образом .
В общем случае корни являются комплексными si=αi+jβi.
1) Если αk>0 A→∞ система не устойчива.
2) Если αk<0 A→0 система устойчива.
3) Если αk=0 A=ck=const система нейтрально устойчива.
Следовательно, для устойчивости линейной непрерывной стационарной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части, то есть располагались в левой полуплоскости плоскости S.
Можно показать, что для устойчивости дискретной линейной стационарной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения (3΄) zi были: |zi|<1 … (!!)
Дата добавления: 2015-01-02; просмотров: 1012;