НПАОП 0.00._____

Вариант № ____

Рецензент БИДЕНКО А.Е.

Город, год.

Задача 1. Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить её: а) по формулам Крамера; б) матричным методом.

Находим определитель системы:

Так как определитель системы , то система совместна и имеет единственное решение.

а) Находим решение по формулам Крамера.

Заменяя в определителе системы столбец коэффициентов при соответствующем переменном столбцом свободных членов, находим определители неизвестных:

Тогда по формулам Крамера:

б) Решаем систему уравнений матричным методом:

Запишем матрицу А коэффициентов при неизвестных:

Запишем матрицу-столбец Х при неизвестных:

И матрицу-столбец Н свободных членов:

Тогда матричное уравнение будет эквивалентно исходной системе уравнений, а его решение: будет одновременно являться и решением исходной системы. То есть, чтобы найти столбец неизвестных Х, надо найти матрицу , обратную матрице и справа умножить ее на матрицу свободных членов.

Ищем обратную матрицу . Обратная матрица равна:

, где:

- определитель матрицы ;

- транспонированная матрица алгебраических дополнений элементов исходной матрицы.

Для матрицы обратная матрица будет следующей:

Определитель исходной матрицы А уже найден и он соответствует определителю системы и равен . Ищем алгебраические дополнения элементов исходной матрицы и транспонируем их в матрицу .

Обратная матрица будет:

Решение системы линейных неоднородных уравнений :

Задача 2. Вершины пирамиды находятся в точках и . .А(3; 5; 3); В(-3; 2; 8); С(-3; -2; 6); (7; 8; -2). Вычислить:

а) площадь грани

б) площадь сечения, проходящего через середину ребра и вершины пирамиды и С ;

в) объём пирамиды .

Решение.

Определим координаты точки середины ребра :

.

Из вершины в вершины и , а также в точку проведем векторы

а) площадь грани равна половине модуля векторного произведения векторов и :

=

б) площадь сечения, проходящего через середину ребра и вершины пирамиды и С равна половине модуля векторного произведения векторов и

в) объём пирамиды равен одной шестой части смешанного произведения векторов , и

, идущих из одной вершины вдоль граней пирамиды:

Задача 3. Даны четыре точки:

.

Составить уравнения:

а) плоскости ABC;

б) прямой AB;

в) прямой DM, перпендикулярной к плоскости ABC;

г) прямой CN, параллельной прямой AB;

д) плоскости, проходящей через точку D, перпендикулярно к прямой AB.

Вычислить:

е) синус угла между прямой AD и плоскостью ABC;

ж) косинус угла между координатной плоскостью Оху и плоскостью ABC.

Решение.

Из точки в точки , и проведем векторы

Найдем вектор , перпендикулярный к плоскости векторов и как их векторное произведение:

а)Уравнение плоскости ABC, проходящей через фиксированную точку перпендикулярно нормальному вектору будет: . После сокращения на 2 и приведения подобных членов получим общее уравнение плоскости ABC:

б) Уравнение прямой AB запишем как каноническое уравнение прямой, проходящей через фиксированную точку с направляющим вектором .

- каноническое уравнение прямой AB.

в)Уравнение прямой DM, перпендикулярной к плоскости ABC

запишем как каноническое уравнение прямой, проходящей через фиксированную точку с направляющим вектором

:

г) Уравнение прямой CN, параллельной прямой AB запишем как

каноническое уравнение прямой, проходящей через фиксированную точку с направляющим вектором

.

д) Уравнение плоскости, проходящей через точку D,

перпендикулярно к прямой AB. Как общее уравнение плоскости, проходящей через фиксированную точку с нормальным вектором . Ее общее уравнение будет:

е) Синус угла между прямой AD и плоскостью ABC равен косинусу угла между вектором и нормальным вектором к плоскости ABC:

ж) Координатная плоскостью Оху имеет нормальным вектором вектор .Косинус угла между координатной плоскостью Оху и плоскостью ABC равен косинусу между векторами и .

Задача 4Найти пределы не пользуясь правилом Лопиталя

а)

Так как и числитель и знаменатель выражения при обращаются в нуль, то на основании следствия из теоремы Безу, они раскладываются на множители, среди которых одним из множителей будет . Для нахождения других множителей производим деление уголком заданных многочленов на .

б)

в)

г)

д)

Задача 5. Продифференцировать данные функции

а)

б)

в) - логарифмическое дифференцирование.

г) - логарифмическое дифференцирование.

Задача 6. Найти первые и вторые производные и :

а) -Неявное задание функции

.

б) - Параметрическое задание функции

Задача 7. Провести полное исследование функции и построить её график.

1. Область определения функции:

2. Функция общего вида, т.е. не является четной или нечетной, т.к.

.Т.е. ось не является осью симметрии и начало осей координат не является точкой симметрии.

3. Находим точки пересечения графика функции с осями координат

3.1 Оси график функции не пересекает, т.к. функция не определена при .

3.2 Ось график функции пересекает в том случае, если

. при этом равен .

4. Исследуем функцию на монотонность и экстремумы.

4.1 Находим производную от функции:

4.2 Находим критические точки функции: и .

4.3 Строим таблицу исследования функции на монотонность и экстремумы.

		не определена		min

5. Исследуем функцию на выпуклость и вогнутость.

5.1 Находим вторую производную:

5.2 Критическая точка второго рода:

5.3.Строим таблицу исследования функции на выпуклость и вогнутость:

		не определена

6. Исследуем функцию на наличие асимптот.

6.1 Прямая является вертикальной асимптотой, т.к.

.

6.2 Прямая является наклонной асимптотой, если при

существуют два конечных предела:

Поэтому прямая является горизонтальной асимптотой графика функции.

7. Строим график функции

НПАОП 0.00._____

м. КИЇВ

Розроблено :

Державною службою гірничого та промисловогонагляду України

спільно з Міністерством енергетики та вугільної промисловості України

Внесено :

Управлінням по нагляду в енергетиці, будівництві при експлуатації підйомних споруд та котлонагляду Держслужби гірничого та промислового нагляду спільно з Департаментом фізичного захисту, пожежної безпеки та безпеки життєдіяльності Міністерства енергетики та ВП України

Редакційна комісія:Іванченко В. І., (голова комісії), Бабійчук В. М. Онищенко О.М, (заступник голови комісії ), к.т.н. Фещенко П. П., Курпа Л. М.

Відповідальні виконавці:Гажаман В. І., Гочаренко А. О., Коцеруба В. А., Коваль А. В., Леуш Ю. М., Палкін С. А., Приступа Л. А., Ракецький О. О., Рябіч П. К., Сергієнко В. І., к.т.н. Фещенко П. П.

ЗМІСТ

I ЗАГАЛЬНІ ПОЛОЖЕННЯ ТА ОСНОВНІ ВИМОГИ БЕЗПЕКИ В ЕЛЕК