Гистограмма

Гистограмма – это инструмент, позволяющий зрительно оценить закон распределения величины разброса данных, а также принять решение о том, на чем следует сфокусировать внимание для целей улучшения процесса.

Гистограмма — это столбчатый график 1 (рис. 4.18), позволяющий наглядно представить характер распределения случайных величин в выборке. Для этой же цели используют и полигон 2 (см. рис. 4.18) — ломаную линию, соединяющую середины столбцов гистограммы.

Гистограмма применяется главным образом для анализа значений измеренных параметров, но может использоваться и для оценки показателей возможностей процессов.

Систематизируя показатели качества, и анализируя построенную для них гистограмму, можно легко понять вид распределения, а, определив среднее значение показателя и стандартное отклонение, можно провести сравнение показателей качества с контрольными нормативами и таким образом получить информацию высокой точности.

Гистограмма как метод представления статистических данных была предложена французским математиком А. Гэри в 1833 году. Он предложил использовать столбцовый график для анализа данных о преступности. Работа А. Гэри принесла ему медаль Французской академии, а его гистограммы стали стандартным инструментом для анализа и представления данных.

Построение гистограммы производится следующим образом.

1. Разработка формы контрольного листка для сбора первичных данных.

2. Сбор статистических данных xi, i = 1, 2, ..., N, характеризующих ход процесса и заполнение контрольного листка.

После заполнения контрольного листка приступают собственно к построению гистограммы.

3. Вычисление диапазона данных (выборочного размаха)

R=x_max-x_min,

где x_max — наибольшее наблюдаемое значение; x_min — наименьшее наблюдаемое значение.

4. Определение количества интервалов п на гистограмме часто осуществляют по формуле Стерджесса

n ≈ l + 3,322 1g N,

где N — общее количество собранных данных в выборке.

Обычно z≈√N, где N — объем выборки. Представительной считается выборка при N = 35 – 200. Часто N = 100. Как правило, z = 7 – 11. Длина интервала должна быть больше цены деления шкалы измерительного устройства, которым выполнялись измерения.

5. Определение размеров интервалов осуществляют так, чтобы размах, включающий максимальное и минимальное значения, делился на интервалы равной ширины. Для получения ширины интервалов h = R/n размах R делят на полученное выше количество интервалов п.

Внимание! Желательно, чтобы размер интервала был не менее двух делений шкалы измерительного прибора.

6. Определение границ интервалов.

Сначала определяют нижнюю границу первого интервала и прибавляют к ней ширину этого интервала, чтобы получить границу между первым и вторым интервалами. Далее продолжают прибавлять найденную ширину интервала h к предыдущему значению для получения второй границы, затем третьей и т. д. После завершения такой работы можно удостовериться, что верхняя граница последнего интервала совпадает с максимальным значением х_mах.

7. Вычисление частот.

В третий столбец таблицы контрольного листка вносят количество к_i наблюдений, попавших в каждый интервал. По результатам наблюдений, отмеченных черточками во втором столбце этой таблицы, подсчитывают общее количество наблюдений, а затем в четвертый столбец записывают относительные частоты, выраженные в процентах и подсчитанные по формуле

8. Построение горизонтальной и вертикальной осей графика.

Наносятся горизонтальная и вертикальная оси, а затем на каждой оси выбираются масштабы.

9. Построение графика гистограммы.

На горизонтальную ось необходимо нанести границы интервалов. На оси абсцисс с обеих сторон (перед первым и после последнего интервалов) следует оставить место, не менее размера одного интервала. Пользуясь шириной интервалов как основанием, строят прямоугольники, высота каждого из которых равна частоте попадания результатов наблюдений в соответствующий интервал. На график (см. рис. 3.2) наносят линию, представляющую среднее арифметическое значение x, а также линии, представляющие границы поля допуска, если они имеются.

Рис. 3.2. Гистограмма, построенная по данным контрольного листка 3.2.

Основным достоинством гистограммы является то, что анализ ее формы и расположения относительно границ поля допуска дает много информации об изучаемом процессе без выполнения расчетов. Для получения такой информации из исходных данных необходимо выполнить достаточно сложные расчеты. Гистограмма позволяет оперативно выполнить предварительный анализ процесса (выборки) исполнителю первой линии (оператору, контролеру и др.) без математической обработки результатов измерений.

Например, как видно на приведенном выше рисунке (см. рис. 4.18), гистограмма смещена относительно номинального размера к нижней границе допуска, в области которой вероятен брак. Оператор для предотвращения брака должен, прежде всего, отрегулировать настройку станка для совмещения x и середины поля допуска. Возможно, что этого окажется недостаточно для исключения брака. Тогда потребуется повысить жесткость технологической системы, стойкость инструмента и уменьшить разброс размеров.

Формы, представленные на рис. 3.3, типичны, и вы можете воспользоваться ими как образцами при анализе процессов.

Обычная форма(симметричная, или колоколообразная). Среднее значение гистограммы приходится на середину размаха данных. Наивысшая частота оказывается в середине и постепенно снижается к обоим концам. Форма симметрична.

Примечание. Это именно та форма, которая встречается чаще всего.

ГребенкаИнтервалы через один имеют более низкие (высокие) частоты.

Примечание. Такая форма встречается, когда число единичных наблюдений, попадающих в интервал, колеблется от интервала к интервалу или когда действует определенное правило округления данных.

Положительно скошенное распределение(отрицательно скошенное распределение). Среднее значение гистограммы локализуется слева (справа) от центра размаха. Частоты довольно резко спадают при движении влево (вправо) и, наоборот, медленно — при движении вправо (влево). Форма асимметрична.

Примечание. Такая форма встречается, когда левое (правое) значение поля допуска недостижимо.

Распределение с обрывом справа(распределение с обрывом слева). Среднее арифметическое гистограммы локализуется далеко слева (справа) от центра размаха. Частоты резко спадают при движении влево (вправо) и, наоборот, медленно вправо (влево). Форма асимметрична.

Примечание. Это одна из тех форм, которые часто встречаются при 100 %-ной разбраковке изделий из-за плохой управляемости процесса, а также когда проявляется резко выраженная положительная (отрицательная) асимметрия.

Равномерное или прямоугольное распределение(плато). Частоты в разных интервалах образуют плато, поскольку все интервалы имеют более или менее одинаковые ожидаемые частоты.

Примечание. Такая форма встречается в смеси нескольких распределений, имеющих различные средние значения.

Двухпиковая (бимодальная) форма.В окрестностях центра диапазона данных частота низкая, т. е. по пику с каждой стороны.

Примечание. Такая форма встречается, когда смешиваются два распределения с далеко отстоящими средними значениями.

Рис. 3.3. Основные формы гистограмм: а — симметричная, или колоколообразная;

б — гребенка; в — положительно скошенное распределение; д — равномерное распределение (плато); г — распределение с обрывом справа;

е — двухпиковая (бимодальная) форма.