Преобразование целых чисел

Для перевода необходимо исходное число разделить на основание новой системы счисления до получения целого остатка, который является младшим разрядом числа в новой системе счисления (единицы). Полученное частное снова делим на основание системы и так до тех пор, пока частное не станет меньше основания новой системы счисления. Все операции выполняются в исходной системе счисления.

Рассмотрим для примера перевод числа из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления.

Возьмём десятичное число А₁₀ = 124 и поделим его на основание двоичной системы, то есть число 2. Деление будем производить уголком:

В результате первого деления получим разряд единиц (самый младший разряд). В результате второго деления получим разряд двоек. Деление продолжаем, пока результат деления больше двух. В конце операции преобразования мы получили двоичное число 1111100₂.

Теперь то же самое число переведём в восьмеричную систему счисления. Для этого число 124₁₀ разделим на число 8:

Как мы видим, остаток от первого деления равен 4. То есть младший разряд восьмеричного числа содержит цифру 4. Остаток от второго деления равен 7. то есть второй разряд восьмеричного числа – это цифра 7. Старший разряд получился равным 1. То есть в результате многократного деления мы получили восьмеричное число 174₈.

Проверим, не ошиблись ли мы в процессе преобразования? Для этого преобразуем получившееся двоичное число в десятичную систему по обычной формуле разложения:

1×8²+7×8¹+4×8⁰=64₁₀+56₁₀+4₁₀=124

;А можно ли осуществить перевод из восьмеричной системы счисления в двоичную делением? Можно! Но деление нужно произвести по правилам восьмеричной арифметики. Правила работы в восьмеричной системе счисления мы рассмотрим в следующей главе. Тем не менее, для полноты материала, рассмотрим пример перевода в двоичную форму полученного ранее восьмеричного числа 174₈. Разделим его на основание новой системы счисления 2.

Как мы убедились выполнять деление в восьмеричной системе очень неудобно, ведь подсознательно мы делим в десятичной системе счисления. Давайте обратим внимание на то, что число 8 является степенью числа 2. То есть можно считать восьмеричную систему счисления просто более короткой записью двоичного числа. Это означает, что для представления восьмеричной цифры можно использовать три двоичных бита (8=2³). Давайте составим таблицу соответствия. Она приведена в таблице 2.1.

Таблица 2.1. Таблица соответствия восьмеричных цифр и двоичного кода

Используя эту таблицу можно просто заменить каждую восьмеричную цифру тремя двоичными битами. Три двоичных бита обычно называют триадой или трибитом. Теперь давайте переведём восьмеричное число 1748 в двоичную форму при помощи таблицы 7:

Аналогично можно выполнить перевод числа из двоичной системы в восьмеричную. Для этого двоичное число разбивают на триады относительно крайнего правого разряда (или двоичной запятой) и, используя таблицу 7, каждой триаде ставят в соответствие восьмеричную цифру.

Аналогичным образом можно выполнить перевод числа из шестнадцатеричной формы в двоичную и обратно. В этом случае для представления шестнадцатеричной цифры потребуется четыре двоичных разряда. Четыре двоичных разряда обычно называют тетрадой. Иногда при переводе иностранных книг используется термин нибл.

Давайте составим таблицу соответствия двоичных тетрад и шестнадцатеричных цифр. Для этого мы будем просто прибавлять единицу к значению предыдущей строки в каждом столбце таблицы, в соответствии с используемой в этом столбце системой счисления. Результат приведён в таблице 2.2.

В качестве примера использования таблицы 2.2 переведем шестнадцатеричное число 7С₁₆ в двоичную форму представления:

Таблица 2.2 Таблица соответствия шестнадцатеричных цифр и двоичного кода

Пример преобразования двоичного числа в восьмеричную и шестнадцатеричную форму приведён на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1. Пример преобразования двоичного числа в восьмеричную и шестнадцатеричную форму.

На этом рисунке внизу выделены двоичные тетрады и соответствующие им шестнадцатеричные цифры. Их соответствие можно проверить при помощи таблицы 2.2. Сверху выделены триады и соответствующие им восьмеричные цифры. Старшая триада получилась неполной. Её нужно дополнить старшими незначащими нулями для того, чтобы можно было бы воспользоваться таблицей 2.1.

Глава 3