Волны материи
В соответствии с современными представлениями любые материальные объекты характеризуются наличием и корпускулярных и волновых свойств, взаимосвязь между которыми определяет уравнение де Бройля: l = h/(mv), где m и v – масса и скорость движения материального объекта, характеризующие его корпускулярные свойства, а l - длина волны, отражающая волновые свойства объекта.
Пример 1. Определите энергию фотона в джоулях и электрон-вольтах, соответствующего красной границе видимого света (l = 750 нм). Чему равна энергия таких фотонов, выраженная в джоулях на моль?
Решение. По уравнению Планка энергия фотона с длиной волны l:
Е = hn = hc/l = 6.626×10-34×3×108/750×10-9 = 2.65×10-19 Дж
Поскольку 1эВ = 1.602×10-19 Дж, то в электрон-вольтах энергия фотона составляет Е = 1.65 эВ. Энергия одного моля таких фотонов:
Е = NA×2.65×10-19 = 6.023×1023×2,65×10-19 = 1.6×105 Дж/моль.
Пример 2. Определите длину волны электрона, движущегося со скоростью 2×108 м/c.
Решение. С учетом значений массы и скорости движения электрона: me = 9.1×10-31 кг, v = 2×108 м/с, длина волны электрона в соответствии с уравнением де Бройля:
l = 6.626×10-34/(9.1×10-31×2×108) = 3.6×10-12 м.
Пример 3. Определите массу и энергию фотона, соответствующую появлению в спектре атомарного водорода наиболее длинноволновой линии серии Бальмера.
Решение. Наиболее длинноволновая (низкоэнергетическая) линия серии Бальмера возникает в результате перехода электрона с третьего на второй энергетический уровень:
hc/l = (2p2mee4/h2)×(1/22 – 1/32)
l = hc/[(2p2mee4/h2)×(1/22 – 1/32)] = 6.563×10-7 м
Из уравнения де Бройля это соответствует массе движущегося со скоростью света (с = 3×108 м/с) фотона:
m = h/lc = 6.6262×10-34/(6.536×10-7×3×108) = 3.3×10-36 кг.
Энергия фотона с l=6.536×10-7 м определяется уравнением Планка:
Е = hn = hc/l = 6,6262×10-34×3×108/6,536×10-7 = 3×10-19 Дж.
Одним из экспериментальных подтверждений наличия у электромагнитного излучения не только волновых, но и корпускулярных свойств является фотоэффект – испускание металлами электронов при освещении их электромагнитным излучением, частота которого больше некоторого порогового значения (красной границы фотоэффекта). В соответствии с квантовой теорией Эйнштейна, при освещении поверхности металла электромагнитным излучением, представляющим собой поток фотонов с энергией E = hn, происходит передача энергии фотонов электронам металла, которые вылетают из металла с кинетической энергией (mv2/2), равной разности энергии падающих фотонов и энергии выхода (W) электронов из кристаллической решетки металла:
mv2/2 = hn - W.
Пример 4. Определите красную границу фотоэффекта для цезия, если работа выхода электрона из цезия составляет 1.9 эВ.
Ращение. В соответствии с уравнением Ейнштейна:
hn = hc/l = W + mv2/2
максимальная длина волны, соответствующая красной границе фотоэффекта, определяется равенством энергии фотонов и работы выхода электрона W из материала фотокатода hc/l = W:
l = hc/W = 6.626×10-34×3×10-8/(1.9×1.602×10-19) = 6.53×10-7 м = 653 нм.
Фундаментальным принципом природы, лежащим в основе современных представлений о корпускулярно-волновой двойственности материальных объектов, является принцип неопределенности Гейзенберга – невозможно сколь угодно точно одновременно определить положение и импульс материального объекта:
D q×Dp h/2p,
где Dq – неопределенность положения объекта в пространстве (его координат), а Dp – неопределенность импульса (р = mv) объекта.
Пример 5. Определите относительную неопределенность в положении электрона в атоме водорода при движении его по первой боровской орбите, если относительная точность определения его скорости составляет 1%.
Решение. В соответствии с принципом неопределенности:
Dq×Dp h/2p или Dq×Dv h/2pme.
Поскольку скорость электрона на первой (n=1) боровской орбите:
v1 = (h/2p)(1/mer1),
то из условия задачи следует:
Dv = 0,01v1 = 0,01(h/2p)(1/mer1)
Подставляя выражение для Dv в соотношение Гейзенберга, получим:
Dq×0,01(h/2p)(1/mer1) h/2pme,
Dq/r1 100
Tаким образом, величина неопределенности в положении электрона на боровской орбите составляет более 10000%, что указывает на принципиальную невозможность описания его движения по фиксированным орбитам.
Упражнения:
18. Определите скорость движения электрона, если его длина волны составляет 2.42×10-8 м.
19. Масса фотона равна массе электрона (9.1×10-31 кг). Какова длина волны этого фотона?
20. Определите длину волны нейтрона (m = 1.675×10-27 кг), движущегося со скоростью 4×102 м/с.
21. С какой скоростью должна двигаться a-частица, чтобы ее длина волны составляла 2×10-12 м?
22. Определите длину волны молекулы фтора, движущейся со скоростью 500 м/с. Можно ли экспериментально наблюдать волновые свойства такой молекулы фтора?
23. Какую энергию необходимо сообщить невозбужденному атому водорода, чтобы он мог испускать излучение с l = 1.5×10-7 м?
24. Определите энергию фотонов в джоулях, электрон-вольтах и джоулях на моль, соответствующих синей границе видимого света l = 400 нм.
25. Радиостанция ведет передачи на частоте 1120 кГц. Какова длина волны и энергия фотона такого излучения?
26. Определите величину скорости движения фотоэлектрона, образующего при освещении цезиевого фотокатода видимым светом с длиной волны 450 нм, если работа выхода электрона из цезия равна 1.9 эВ.
27. Металлический литий испускает электроны под воздействием излучения с длиной волны не более 520 нм. Определить работу выхода для лития. Какова кинетическая энергия электронов, испускаемых литием при освещении его светом с l = 360 нм?
28. Вывести общее соотношение, связывающее относительные неопределенности в скорости движения электрона (xv = Dv/v) по боровской орбите и его положения (xq = Dq/r) на орбите.
Дата добавления: 2014-12-20; просмотров: 1484;