Пропорциональный анализ

и поиск отношений «золотого сечения»

Термин «пропорция» используют в нескольких смыслах:

а) числовое соотношение основных параметров формы (длины, ширины, высоты);

б) равенство отношений количественной меры (принцип геометрического подобия).

В случае (а) примером могут служить рекомендации итальянского архитектора А. Палладио (XVI в.), которые определяли отношение длины комнаты к ее ширине и высоте [5]. Пример случая (б) представлен на рис. 3, а – это пропорционирование фасада башни архитектора Л. Б. Альберти, выражающее собой основной принцип подобия: шесть портиков башни имеют квадратные пропорции, но размеры их убывают по высоте. Другим распространенным случаем реализации метода подобия является триангуляция – решение фасада на основе подобных треугольников (рис. 3, б).

«Золотое сечение» - наиболее интересная и часто встречающаяся разновидность пропорциональных отношений. Эта пропорция, известная как минимум еще пифагорейской геометрической школе, возникает в результате такого деления отрезка, при котором длина его

Рис. 3. Примеры пропорционирования фасадов зданий:

а - на основе квадрата (башня, арх. Альберти)

б - на основе треугольника (Софийский собор в Киеве)

меньшей части относится к длине большей так же, как длина большей части ко всей длине (см. рис. 4, а).

Если составить и решить соответствующее уравнение, то полученный результат будет равен 0.618… (исходная длина отрезка принимается за 1), при этом обратная дробь равна 1. 618…, что связано с исходными условиями задачи о делении отрезка. В пропорциях сооружений нередко встречаются «золотые цепочки» - последовательности имеющих общие конечные точки размерных отрезков (см. рис. 4, б), в которых каждый предыдущий отрезок относится к последующему в пропорции золотого сечения. Поиск золотого сечения в исследуемом объекте можно вести с использованием графических построений (рис. 4, в), или при помощи замеров, выполненных в масштабе чертежа и калькулятора. Значения порядка 0.61 – 0.63 считаются достаточно точными для заключения о наличии золотого сечения. Некоторое упрощение в замерах может быть получено при учете свойств аддитивного ряда, носящего имя итальянского математика Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …. Нетрудно увидеть, что каждый последующий член ряда является суммой двух предыдущих. Замечательным свойством этого ряда является все большее приближение отношения двух его соседних членов к золотому сечению при увеличении их

Рис. 4. Золотое сечение:

а - пропорция золотого сечения как результат задачи деления отрезка

б - "золотая цепочка"

в - геометрический способ деления отрезка в отношении золотого сечения

г - схема трафарета для нахождения золотого сечения.

номеров в ряду, причем весьма точным оказывается уже значение 13:21, равное 0.619… . Таким образом, для нахождения золотого сечения можно заготовить на кальке чертеж, подобный изображенному на рис. 4, г. В силу подобия треугольников, все отрезки, параллельные АС, разделены в отношении 13:21=0.619... Для обозначения длин отрезков, находящихся в отношении золотого сечения, принято использовать латинские буквы M и m («Мажор» и «минор», что означает «большой» и «малый»), а в случае цепочек – индексированную последовательность m₁, m₂, m₃, m _{4 ,}… m _n. Некоторые сведения, касающиеся взаимосвязи золотого сечения и традиционных линейных мер, приводятся в разделе 1.9.

1.9. Анализ линейных мер, использованных при назначении размеров памятника архитектуры

Понятие метрологии и развитие систем линейных мер. Этот тип анализа несколько сложнее предыдущих, он требует широких знаний и определенного опыта. В курсовой работе он будет выполняться по упрощенной схеме, однако даже в этом случае необходимо получить соответствующую информацию. Слово "метрология" происходит от греческих слов "метрон" (мера) и "логос" (наука), ее задачей является изучение различных, в том числе линейных мер в их историческом развитии. Как система знаний, метрология зародилась в глубокой древности. Часто для назначения мер использовались размеры частей человеческого тела ("палец", "ладонь", "локоть", "стопа", "сажень" – см. рис. 5,а) - вспомним известное высказывание Витрувия: "Человек - мера всех вещей" (см. [7,10,13]). В результате торговых и других контактов между различными странами и народами некоторые меры и мерные системы распространялись очень широко. Например, многие системы измерений стран Средиземноморья сложились под влиянием вавилонской системы. К настоящему времени в мире получили наибольшее распространение две системы линейных мер: метрическая и футо-дюймовая.

Метрическая система, созданная во Франции в 1790 г., в своей основе имеет 1/40 000 000 часть длины парижского меридиана. С 1875 г. эта система была принята и в России. К настоящему времени, в связи с возрастанием научно-технических потребностей принято более точное определение метра, основанное на достижениях современной оптики.

Футо-дюймовая система, имеет более традиционный характер (англ. foot означает "ступня") и распространена главным образом в англоязычных странах - Великобритании, США и других.

Рис. 5. Линейные меры и их применение в памятниках архитектуры:

а - связь исторических мер с размерами человеческого (мерная сажень, пядь, локоть, фут - все в мм)

б - использование косой сажени в церкви Покрова на Нерли

в - отношение высоты пирамиды Хеопса в футах (481') к «невидимой» (мыслимой) отметке 777' равно 0.619..., что всего на 0.001 отличается от величины золотого сечения

Выполнение метрологического анализа.При выявлении исторических линейных мер, использованных в памятнике архитектуры, рекомендуется опираться на принцип целочисленности. Это означает, что исходной гипотезой будет использование целых чисел при назначении строителем основных размеров сооружения. Наиболее значимым параметром здания в силу ряда историко-культурных условий обычно является высота здания, именно с нее мы рекомендуем начинать процесс выявления использованных линейных мер. В большинстве случаев студентами анализируются памятники русского храмового зодчества. В связи с этим необходимо отметить, что в православии канонизирован ряд из 7 целых чисел (1, 2, 3, 5, 7, 9, 13), символизирующих основные понятия христианской религии. Во многих случаях можно обнаружить, что назначение основных размеров использует эти сакрализованные значения. В частности, высоты храмов XI-XII веков часто кратны 13 саженям (см. раздел 2.9.3), причем высота барабана с куполом составляет 5 таких саженей (см. раздел 2.8. о золотом сечении и ряде Фибоначчи). После обнаружения кратности желательно получить подтверждение найденной меры на каком-либо другом значимом фрагменте памятника (см. пример на рис. 5, б). Необходимо иметь в виду, что из-за процесса просадок, неточностей обмеров и погрешностей в чертежах (не говоря уже о погрешностях, связанных с выполнением замеров на мелкомасштабном чертеже) точность разрабатываемой мерной гипотезы относительна. Поэтому результаты, в которых полученное расхождение составляет 0.25 определяемой меры, уже можно считать достаточно хорошими.

Следующий раздел посвящен краткой характеристике русских линейных мер в их историческом развитии.

Русские исторические линейные меры и их системы. Линейные меры Древнерусского государства (X - начало XII вв.). Исследование метрологии этого периода затруднено по причине полного отсутствия письменных источников, специально посвященных единицам измерений. Ведущими оказываются косвенные сведения, в том числе полученные при обмерах памятников архитектуры. Можно говорить о применении в это время системы, основанной на принципе кратности двум:

а) пядь размером в 19 см;

б) локоть 38 см (2 пяди);

в) "прямая" или "простая" сажень 152 см (4 локтя или 8 пядей). Более точно размер прямой сажени определяется в 152,76 см.

На основании обмеров архитектурных памятников исследователи также делают выводы о применении саженей размером в 176,4 см (позже названной "мерной" или "маховой"), 249,46 см ("великая"), 216 см ("косая"). Эта сажень равна диагонали квадрата со стороной 152 см (т. е. прямая сажень). Из более крупных единиц известна "верста".

Линейные меры Руси в период феодальной раздробленности (XII - XV вв.). Известно, что в это время складываются 2 различные системы мер: Новгородско-Псковская и Московско-Владимирско-Черниговская. Обе они основывались на "принципе удвоения" и состояли из пяди (иногда называемой "ногой"), локтя (иногда называемого "стопой") и сажени, причем соотношение единиц сохраняется - 1 сажень=4 локтя=8 пядей. Новгородско-Псковская система имела в основе пядь, равную 22-23 см, соответственно локоть 44-46 см и сажень 176-184 см. Московско-Владимирско-Черниговская имела в основе "малую" пядь размером в 19 см, локоть 38 см, сажень 152 см.

Русские линейные меры XVI-XVII вв. В конце XV в. на Руси появляется новая, заимствованная в процессе торговли с Турцией, мера - аршин, вскоре ставшая одной из основных и вытеснившая локоть. Система мер длины,

сложившаяся к началу XVIII в. , приобретает следующий вид (версты не приводятся):

1 вершок = 4.5 см;

1 четверть = 4 вершкам = 18 см;

1 аршин = 4 четвертям = 16 вершкам = 72 см;

1 сажень=3 аршинам=12 четвертям=48 вершкам=216 см (бывшая "косая", теперь называемая "государевой", "казенной" и др.)

Система линейных мер в России в XVIII-XIX вв.Расширение торговых и других отношений с Западной Европой вызвало внедрение в российскую мерную практику фута (foot) и производных от него единиц - дюйма (inch), линии (line) и точки (point), c дальнейшей корректировкой национальных русских мер для достижения их кратности вновь введенным. Указом 1835 г. официальная система российских линейных мер закреплена в следуюшем виде:

1 точка = 0.254 мм;

1 линия = 10 точек = 2.54 мм;

1 дюйм ( 1" ) = 10 линиям = 2.54 см;

1 фут = 12" = 30.48 см

1 вершок = 4.44 см;

1 четверть = 4 вершка = 17.77 см;

1 аршин = 4 четвертям = 16 вершкам = 28";

1 сажень = 3 аршинам = 7 футам = 213.36 см.

XX-XXI вв.Официальной системой мер в России с последней четверти XIX в. (1875) и до наших дней является метрическая система.

Более подробную информацию, относящуюся к истории развития русских линейных и других мер читатель может получить, в частности, в источнике [8]. Кроме исторической метрологии, там же можно обнаружить сведения о других прикладных исторических науках.