Моделирование процесса функционирования системы заправки, осуществляемой подвижными агрегатами обслуживания

Работа системы заправки с помощью подвижных агрегатов обслуживания может быть смоделирована замкнутой системой массового обслуживания, в которой число источников заявок N ограничено количеством обслуживаемых ЛА, а интенсивность поступления заявок λ зависит от состояний источников, обусловленных работой самой системы. Такая задача обычно решается в следующей постановке.

Имеется N одинаковых взаимно удаленных объектов, каждый из которых может в некоторые случайные моменты времени подать заявку на обслуживание. Поток заявок каждого объекта считается пуассоновским с интенсивностью λ_и. Каждый объект обслуживается одним (нет взаимопомощи между каналами) или l из n (имеется частичная взаимопомощь) агрегатами обслуживания.

Интенсивность пуассоновского потока обслуживании каждого канала μ_и. Если к моменту подачи заявки объектом все каналы заняты, то этот объект становится в очередь на обслуживание; дисциплина очереди такая: кто раньше подал заявку, тот раньше обслуживается.

Для случая отсутствия взаимопомощи между каналами обслуживания состояние замкнутой системы массового обслуживания описывается системой дифференциальных уравнений вида

(4.26)

Решение системы дифференциальных уравнений (4.26) совместно с нормировочным условием

(4.27)

позволяет определить все вероятные состояния замкнутой системы массового обслуживания и найти все параметры, характеризующие работу этой системы в режиме постановки ЛА на работу.

Для стационарного режима работы подвижных агрегатов обслуживания система (4.26) преобразуется в систему алгебраических уравнений вида

(4.28)

Решение этой системы уравнений совместно с нормировочным условием (4.27) дает следующие выражения для определения вероятностей нахождения в состояниях Х_о, Х_k и Х_n+l:

(4.29)

(4.30)

(4.31)

где k=1, 2, 3, …, n; l=1, 2, 3, …, N-n, ; ; q=1-P; ; вычисляются по таблице биномиального распределения;

вычисляются по таблицам пуассоновского распределения; ;

Таблицы пуассоновского и биномиального распределений всех указанных выше функций приведены в [54].

Зная вероятные состояния системы массового обслуживания замкнутого типа, легко определить и другие параметры, характеризующие процесс функционирования системы “заявка объекта — обслуживание агрегатом”. Так, среднее число обслуживаемых объектов определяется по формуле

. (4.32)

Среднее число ожидающих очереди объектов можно найти так:

. (4.33)

Среднее число простаивающих объектов

. (4.34)

Коэффициент использования Р_ис (вероятность того, что определенный объект в любой момент времени будет работать и не нуждается в обслуживании) подсчитывают по формуле

(4.35)

где — вероятность простаивания объекта, т. е. вероятность того, что объект нуждается в обслуживании.

Среднее время готовности объекта к применению будет

. (10.36)

Среднее время простоя объекта и пребывания его в очереди определяется выражениями

(4.37)

(4.38)

где — среднее время обслуживания одного объекта одним агрегатом.

Для случая работы замкнутой системы массового обслуживания с взаимопомощью между каналами обслуживания задача определения параметров функционирования формулируется следующим образом: имеется N одинаковых взаимно удаленных объектов, каждый из которых в любой случайный момент времени может подать заявку на обслуживание с интенсивностью λ_и; интенсивность обслуживания каждым агрегатом равна μ_и. Если подано заявок меньше , то каждый объект обслуживается одновременно l агрегатами, где — целая часть числа . Производительность при этом возрастает в l раза и равна lμ_и. Величина l определяется максимальным числом агрегатов, которые могут быть использованы при обслуживания одного объекта. Если подано заявок С₂, причем С₁<С₂<n, то в обслуживании участвуют все n агрегатов, распределяясь приблизительно равномерно между всеми подавшими заявки объектами, при этом каждый объект обслуживается не более чем l агрегатами. Если подано заявок С₃, причем , то в обслуживании участвуют все n агрегатов, которые обслуживают п объектов, а (С₃-n) объектов ожидают очереди на обслуживание.

Процесс функционирования замкнутой системы массового обслуживания с взаимопомощью между каналами обслуживания описывается системой дифференциальных уравнений вида

Эта система уравнений решается с нормировочным условием (4.27) и дает возможность определить параметры, характеризующие работу заправочной системы с помощью подвижных агрегатов обслуживания в режиме постановки ЛА на работу.

Для стационарного режима работы такой системы массового обслуживания система дифференциальных уравнений (10.39) преобразуется к виду

В результате решения системы алгебраических уравнений (4.40) совместно с условием (4.27) получаются следующие выражения для определения вероятных состояний подобной системы массового обслуживания:

(4.41)

(4.42)

(4.43)

(4.44)

где — табличная функция биномиального распределения.