Удаление сезонной компоненты.

В аддитивной модели – удаляют, вычитая их из начальных значений ряда.

Для мультипликативно-аддиативной – процедура сводится к делению значений исходного ряда на соответствующие индексы и умножению на 100. процедура удаления сезонной компоненты носит название сезонного выравнивания или сезонной коррекции ряда (еще называется сезонная декомпозиция).

Задача: проиллюстрируем оценку сезонных индексов и их использование при прогнозировании на основе статистических данных о производстве молока в России (в тыс. тонн) с января 1992г. по октябрь 1996г. (по данным ЦСУ Госкомстата РФ).

График показывает, что производство молока имеет тенденцию к сокращению и подвержено сильным сезонным колебаниям с max производства в летние месяцы и min – в зимние. При этом величина сезонных колебаний пропорциональна среднему уровню производства.

Оценим сезонные индексы этого ряда с учетом сезонности.

Для описания тренда используем линейную модель:

trt= a+bt, где t =1,2, …,58.

Оценки a и bпо МНК дают:

a = 2841,1

b = -23,63

Таким образом, в каждой точке t можно вычислить trt= a+bt.Подобранная модельтренда описывает общую тенденцию поведения ряда. Но сделать на базе этой модели достаточно точный прогноз ежемесячного производства молока в следующем году нельзя, учитывая большую сезонную изменчивость ряда. Для построения месячного прогноза необходимо оценить сезонные эффекты, или сезонные индексы.

Из графика видно, что величина сезонных колебаний пропорциональна среднему уровню производства. Поэтому, для описания сезонных колебаний следует использовать мультипликативно-аддитивную модель (или мультипликативную). Используем первую из них.

В следующей таблице приведем значения отношений xt\trt :

Приведем таблицу сезонных индексов (%):

Для проведения сезонного выравнивания каждое значение исходного ряда следует разделить на соответствующий ему сезонный индекс и умножить полученный результат на 100%.

Полученный ряд, представленный в виде графика, имеет вид:

Выровненный ряд имеет ярко выраженную тенденцию линейного убывания.

Прогнозирование.

Посмотрим, к каким результатам приводит эта методика, если мы хотим получить прогноз на 1996 год по данным 1992-1995гг. Учитывая устойчивое поведение сезонного индекса, проведем его оценку по данным за 4 года. Повторим описанные выше действия для данных 1992-1995гг. Подобранная модель линейного тренда имеет вид:

trt = 2899.9 – 26.64t

Ее коэффициенты не сильно отличаются от ранее полученной по всем данным. Следует учитывать, что оценка b по всем данным завышена, т.к. отсутствуют данные последних 2-х месяцев 1996г., которые с учетом сезонности являются самыми низкими в году.

Лекция 10

Метод скользящих средних (М.с.с.)

При наличии во временном ряде циклической компоненты для выявления сезонных вкладов (для каждого сезона I,

или )

Необходимо оценить не только тренд, но и циклическую компоненту.

Проще всего оценить тренд и циклическую компоненту можно с помощью скользящего среднего. Этот метод полезен и тогда, когда модель тренда не ясна.

М.с.с. основан на переходе от начальных значений ряда к их средним значением на интервале времени, длина которого выбрана заранее. При этом сам выбранный интервал времени скользит вдоль ряда.

Получаемый таким образом ряд скользящих средних ведёт себя гораздо более гладко, чем исходный ряд, за счёт усреднения отклонений исходного ряда.

Таким образом, эта процедура даёт представление об общей тенденции поведения ряда. Её применение особенно полезно для рядов с сезонными колебаниями и неясным характером тренда. В частности, переход к ряда скользящих средних может быть использован для выявления сезонной компоненты (или сезонного индекса) временного ряда.

Вид средних.

Применяя М.с.с., можно использовать различные виды усреднения значений ряда: среднее арифметическое (простое или с некоторыми весами), медианы и др. К сглаживанию с помощью медианы (медианное сглаживание) приобретает тогда, когда среди наблюдений есть выбросы (резко выделяющиеся данные).

Пример применения М.с.с.

Дадим формальные определения М.с.с., используя величины интервалов сглаживания 7 дней(для графика загрузки телекоммуникационного канала)и 12 месяцев(для графика продажи шампанского в течение нескольких лет). Этот типичные интервалы сглаживания в экономических временных рядах.

Для ежеквартальных данных подходящим может оказаться сглаживание с интервалом 4, для почасовых данных, собираемых круглосуточно, сглаживание с интервалом 24 и т.д. Вообще говоря, величину интервала сглаживания целесообразно выбирать равным или кратным периоду сезонности. При этом каждый интервал вычисления скользящего среднего будет содержать данные, отвечающие всему периоду (периодам) сезонности.

Пример 1. Приведём, график среднесуточной загрузки телеком. канала Париж-Москва сети Internet за четыре последовательных недели февраля 1996г. Этот график характеризует интенсивность (кбит/с) получения информации заказными пользователями с российских компьютерных серверов. Из графика видно, что в субботу и воскресенье происходит уменьшения загрузки канала, в другие дни загрузка повышается. Кроме того, вероятно, имеет место плавный рост объёма загрузки с начала месяца его концу. Таким образом, можно предложить, что рассматриваемый временной ряд имеет тренд и сезонную компоненту с периодом сезонности p = 7 дней.

Вычисления скользящего среднего.

Дадим формальное определение скользящего среднего сначала для интервалов сглаживания, длина которых выражается нечётными числами.(Чётные и нечётные длины анализируются по-разному !).

Пусть p=2m+1 – нечётная длина.

Обозначим через результат усреднения элементов ряда

Если обсуждаемое среднее есть среднее арифметическое, то

Для медианного сглаживания:

Пусть p=2m – чётное. Вычисления по приведённым формулам неверно, т.к. усреднённое значение нельзя сопоставлять какому-либо определённому моменту времени t. Например, среднее арифметическое следовало бы сопоставить моменту времени , но такого момента времени во временном ряде нет.

Поэтому, при чётном интервале сглаживание (2m) в усреднении задействуют не 2m значений, а (2m+1) значений временного ряда, но значения на краях интервала сглаживания берут с весами ½.

Так, при использовании для усреднения среднего арифметического получается следующая формула:

Это выражение задаёт величину простого скользящего среднего для l=m+1,m+2,…,n-m при чётной величине интервала сглаживания p=2m.

Свойство скользящего среднего

Скользящее среднее, сглаживая исходный ряд, даёт представления об общей тенденции поведения ряда – его тренде и циклической компоненте.

Основные свойства:

1. При применении М.с.с. выбор величины интервала сглаживания должен делаться из содержательных сообщений и привязывается к периоду сезонности для сезонных данных. Если процедура скользящего среднего используется для сглаживания несезонного ряда, то чаще всего величину интервала сглаживания выбирают равной трём, пяти, или семи. Чем больше интервал усреднения, тем более гладкий вид имеет график скользящих средних.
2. Соседние члены ряда скользящих средних сильно коррелированны, так как в их формировании участвуют одни и те же члены исходного ряда. Это может приводить к тому, что ряд скользящих средних может содержать циклические компоненты, отсутствующие в исходном ряде. Это явление носит название эффекта Слуцкого – Юла.
3. В качестве метода усреднения, кроме упомянутых выше среднего арифметического и медианы, можно рассматривать взвешенные скользящие средние, когда значения исходного ряда суммируются с определёнными весами. Подобные процедуры целесообразны, если изменение временного ряда во времени носит явно нелинейный характер.