Подобие гидромеханических процессов

Математическое моделирование

Математическое моделирование – исследование процессов или явлений на основе математических моделей.

Математической моделью процессов является исчерпывающее математическое описание процессов переноса. Но эти модели сложные, уравнения, в основном, не решаются. Поэтому их упрощают, путем оценки значимости членов. Если этот способ невозможен (члены уравнения одного порядка), то сознательно огрубляют исчерпывающие описание процесса. Например: трехмерное описание приводит к одномерному – от входа в аппарат к выходу. При этом коэффициенты переноса заменяются на некие параметры модели. Описание этих параметров, т.е. идентификация модели, проводят путем сопоставления результатов физического и численного экспериментов.

Любая модель неполно отображает оригинал. Поэтому следующим этапом моделирования является проверка адекватности модели - соответствия ее моделируемому объекту. Это достигается путем сопоставления результатов моделирования с численным либо физическим экспериментом.

Если модель в недостаточной степени соответствует оригиналу, проводят ее коррекцию.

Конечным этапом математического моделирования является использование полученной модели для описания объекта, либо уже существующего, либо проектируемого.

Итак, этапы математического моделирования:

- составление математической модели;

- идентификация модели;

- проверка адекватности модели, при необходимости коррекция;

- использование модели для описания объекта-оригинала.

Современное материальное обеспечение математического моделирования – компьютеры, возможности которых велики.

Физическое моделирование

Физическое моделирование проводится на основе экспериментального изучения материальных моделей объекта. При этом возникают три проблемы:

- какую модель использовать (форма, размер, среда),

- какие характеристики измерять,

- как перенести результаты исследования с модели на объект.

Эти проблемы решаются с помощью теории подобия, являющейся теоретической основой физического моделирования.

Теория подобия

Подобие в широком смысле – это возможность распространения результатов экспериментов с модели на оригинал. В узком смысле подобие – это тождественность описания полей соответствующих величин модели и оригинала в обобщенных переменных или, по-другому, постоянство отношения сходственных величин модели и оригинала. Далее подобие будем понимать в узком смысле.

Подобные объекты описываются одной системой дифференциальных уравнений и имеют подобные условия однозначности (геометрическое подобие, временное подобие, подобие физических величин, подобие начальных и граничных условий).

Геометрическое подобие – постоянство отношения всех сходственных линейных размеров модели и оригинала.

, (2.88)

где и - сходственные линейные размеры модели и объекта; - константа геометрического подобия.

Временное подобие (гомохранность) – постоянство отношения сходственных интервалов времени модели и оригинала:

. (2.89)

Если =1, то имеем синхронность.

Подобие физических величин – постоянство отношения физических величин для модели и оригинала в сходственных точках в сходственные моменты времени:

. (2.90)

Подобие модели и объекта предполагают подобие полей физических величин:

- гидродинамическое подобие (подобие полей скоростей);

- тепловое подобие (подобие полей температуры);

- концентрационное подобие (подобие полей концентраций).

Подобие начальных условий – подобие полей всех физических величин в начальный момент времени.

Подобие граничных условий – постоянство отношения соответствующих величин на границах модели и оригинала.

Константа подобия – отношения одноименных величин модели и оригинала. Они постоянны для различных сходственных точек подобных систем.

Инварианты подобия – безразмерные отношения величин, характеризующих модель или оригинал. Инварианты подобия – еще называют обобщенными или безразмерными переменными.

Симплексы подобия – инварианты подобия, представляющие собой отношения однородных величин:

. (2.91)

Критерии подобия – инварианты подобия, представляющие собой отношения разнородных, сложных величин:

Например

. (2.92)

Определяющие критерии подобия составлены из величин, входящих в условия однозначности. Определяемые критерии подобия содержат величины, которые необходимо определить.

Наиболее простой метод получения критериев подобия заключается в следующем: дифференциальные уравнения приводятся к безразмерному виду делением всех членов на один из них. Полученные комплексы являются критериями подобия.

Теоремы подобия:

1. Подобные объекты характеризуются численно равными критериями подобия.

2. Решение дифференциального уравнения (уравнений) описывающего объект, может быть представлено в виде зависимости между критериями подобия.

3. Объекты подобны, если они описываются одной системой дифференциальных уравнений, имеют подобные условия однозначности и их определяющие критерии равны.

Математическая зависимость между критериями и симплексами подобия, характеризующая данный процесс переноса субстанции, называется критериальным уравнением:

φ . (2.93)

Если определяемый критерий , то получаем:

. (2.94)

Обычно критериальные уравнения имеют вид степенной зависимости:

. (2.95)

Величины А, а₁, а₂, …, в₁, в₂ … - определятся экспериментально.

Если какой-либо из определяющих критериев слабо влияет на определяемый критерий, то его исключают из уравнения.

Подобие гидромеханических процессов

Запишем для вертикальной оси z уравнения Навье – Стокса:

(2.96)

Уравнение (2.96) преобразуем следующим образом: отбросив знаки математических операторов, делим одну часть уравнения на другую и находим критерии подобия.

, (I)

~ , (II)

ρg, (III)

, (IV)

. (V)

Члены в правой части уравнения разделим на :

, , (2.97)

где Fr – критерий Фруда.

Этот критерий отражает влияние сил тяжести на движение жидкости, является мерой отношения сил инерции и тяжести.

, , (2.98)

где Eu– критерий Эйлера. Критерий Эйлера является мерой отношения сил поверхностного давления и инерции.

, , (2.99)

где Re – критерий Рейнольдса. Критерий Рейнольдса является мерой отношения сил инерции и вязкого трения.

Внутри левой части уравнения имеем:

(2.100)

где Но – критерий гомохронности (для неустановившегося движения).

Все критерии, симплексы, константы подобия безразмерные величины.

Для гидродинамического подобия двух явлений требуется:

Г_i =idem (i=1,2,3…n),

Re = idem, Eu = idem, Fr = idem, Ho = idem. (2.101)

Решение уравнения Навье – Стокса может быть представлено критериальным уравнением вида:

f(Re, Ho, Eu,Fr)=0. (2.102)

В ряде случаев (течение жидкости по трубе, например) последнее уравнение должно быть дополнено симплексами подобия:

f(Re, Ho, Eu, Fr, Г_i)=0. (2.103)

Обычно определяют Δp, тогда

Eu= f(Re, Ho, Fr, Г_i). (2.104)

Для установившихся процессов критерий гомохронности Ho = 0 и должен быть исключен из уравнений, а критерием Fr можно пренебречь вследствие того, что сила тяжести мала по сравнению с силами инерции и вязкого трения. Таким образом, зависимость (2.104) сводится к виду:

Eu = f(Re, Г_i). (2.105)

При развитых турбулентных режимах, в зоне автомодельности сопротивления трения по критерию Re, зависимость еще более упрощается и принимает вид:

Eu= f(Г_i). (2.106)

Результаты экспериментальных данных обрабатываются, обычно, в виде степенной зависимости:

. (2.107)

Константы A, a_i определяются экспериментально.

Рассмотрим подобие граничных условий. Вязкий поток импульса через границу раздела фаз можно определить по закону Ньютона:

. (2.108)

Тот же поток можно выразить в виде линейной зависимости от разности w_x на границе и в ядре потока среды:

, (2.109)

где γ – коэффициент импульсоотдачи.

Тогда получим:

. (2.110)

Проведя формальное преобразование получим:

, (2.111)

где l – характерная линейная величина, - гидродинамический критерий Нуссельта.

Гидродинамический критерий Нуссельта является безразмерной формой коэффициента импульсоотдачи. Поскольку поле скорости w_x однозначно определяет коэффициент γ, решение уравнений Навье – Стокса можно представить следующим образом:

= f_г(Re, Ho, Fr, Г_i). (2.112)

Для многих практически важных случаев число определяющих критериев может быть сокращенно. Влияние силы тяжести на w_x зачастую можно пренебречь и исключить критерий Фруда. Для стационарных процессов исключается критерий гомохронности. Процесс импульсоотдачи может стать автомодельным и по отношению к критерию Рейнольдса.