Задача № 3. Сделайте чертеж и вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

Приложение интеграла к решению прикладных задач

Вычисление площади

Определённый интеграл непрерывной неотрицательной функции f(x) численно равенплощади криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью О_х и прямыми х = а и х = b. В соответствии с этим формула площади записывается так:

Рассмотрим некоторые примеры на вычисление площадей плоских фигур.

Задача № 1. Вычислить площадь, ограниченную линиями y = x² +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Решение. Построим фигуру, площадь которой мы должны будем вычислить.

y = x² + 1 – это парабола ветви которой направлены вверх, и парабола смещена относительно оси O_y вверх на одну единицу (рисунок 1).

Рисунок 1. График функции y = x² + 1

Задача № 2. Вычислить площадь, ограниченную линиями y = x² – 1, y = 0 в пределах от 0 до 1.

Решение. Графиком данной функции является парабола ветви, которой направлены вверх, и парабола смещена относительно оси O_y вниз на одну единицу (рисунок 2).

Рисунок 2. График функции y = x² – 1

Имеем:

Задача № 3. Сделайте чертеж и вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

y = 8 + 2x – x² и y = 2x – 4.

Решение. Первая из двух данных линий – парабола, направленная ветвями вниз, поскольку коэффициент при x² отрицательный, а вторая линия – прямая, пересекающая обе оси координат.

Для построения параболы найдем координаты ее вершины: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – абсцисса вершины; y(1) = 8 + 2∙1 – 1² = 9 – ее ордината, N(1;9) – вершина.

Теперь найдем точки пересечения параболы и прямой, решив систему уравнений:

Приравнивая правые части уравнения, левые части которых равны.

Получим 8 + 2x – x² = 2x – 4 или x² – 12 = 0, откуда .

Итак, точки – точки пересечения параболы и прямой (рисунок 1).

Рисунок 3 Графики функций y = 8 + 2x – x² и y = 2x – 4

Построим прямую y = 2x – 4. Она проходит через точки (0;-4),(2;0) на осях координат.

Для построения параболы можно еще ее точки пересечения с осью 0x, то есть корни уравнения 8 + 2x – x² = 0 или x² – 2x – 8 = 0. По теореме Виета легко найти его корни: x₁ = 2, x₂ = 4.

На рисунке 3 изображена фигура (параболический сегмент M₁N M₂), ограниченный данными линиями.

Вторая часть задачи состоит в нахождении площади этой фигуры. Ее площадь можно найти с помощью определенного интеграла по формуле .

Применительно к данному условию, получим интеграл:

2 Вычисление объёма тела вращения

Объём тела, полученного от вращения кривой y = f(x) вокруг оси О_х, вычисляется по формуле:

При вращении вокруг оси О_y формула имеет вид:

Задача №4. Определить объём тела, полученного от вращения криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х = 0 х = 3 и кривой y = вокруг оси О_х.

Решение. Построим рисунок (рисунок 4).

Рисунок 4. График функции y =

Искомый объём равен

Задача №5. Вычислить объём тела, полученного от вращения криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = x² и прямыми y = 0 и y = 4 вокруг оси O_y.

Решение. Имеем:

Вопросы для повторения

1 Что называется интегрированием функции?

2 Основные свойства неопределённого интеграла.

3 В чём состоит геометрический смысл неопределённого интеграла.

4 Основные формулы интегрирования.

5 Способ подставки и способ интегрирования по частям.

6 Определённый интеграл.

7 Свойства определённого интеграла

8 Формула Ньютона – Лейбница.

9 Геометрический смысл определённого интеграла.