Нерівність Чебишева

Доведення багатьох подальших фактів базується на нерівності Чебишева.

Нерівність Чебишева. Для будь-якої випадкової величини , що має математичне сподівання та обмежену дисперсію, при будь-якому справедлива нерівність

. (24.2)

Доведення. Нерівність очевидна, якщо . Проведемо доведення для неперервної випадкової величини , яка має щільність розподілу . Візьмемо .

.

Запишемо дисперсію випадкової величини

.

Звідси маємо нерівність (24.2). Доведення для дискретних випадкових величин проведіть аналогічно.

Враховуючи, що події та протилежні, маємо наслідок із формули (24.2):

. (24.3)

Нерівність Чебишева справедлива для будь-яких випадкових величин. У вигляді (24.2) вона встановлює верхню границю, а у вигляді (24.3) – нижню границю ймовірності відповідної події.

Запишемо нерівність Чебишева для деяких випадкових величин.

1. Нехай випадкова величина розподілена за біномним законом із параметрами та , тоді і . Формула (24.3) набуває вигляду

.

2. Для частості події в незалежних випробуваннях маємо відповідно таку оцінку

.

Приклад 24.6. Випадкова величина має щільність розподілу , при . Довести нерівність

.

Доведення. Обчислимо числові характеристики та .

.

За нерівністю Чебишева:

.

Покладемо , тоді

.

Приклад 24.7. Оцінити ймовірність того, що відхилення будь-якої випадкової величини від її математичного сподівання за абсолютною величиною буде не більше трьох стандартних відхилень (правило “3 ”).

Розв’язання. За формулою (24.3) маємо

.

Нагадаємо, що для нормально розподіленої випадкової величини правило “3 ” виконується з імовірністю 0,9973. Покажіть, що для рівномірного закону це правило виконується з імовірністю 1, а для показникового – 0,9827. Отже, правило “3 ” (з достатньо великою ймовірністю його виконання) може бути використано для більшості випадкових величин.

Приклад 24.8. Довести, що послідовність випадкових величин { }, ряд розподілу кожної з яких має вигляд

	0,5	0,5

збігається за ймовірністю до 0.

Доведення. Обчислимо числові характеристики та . За рядом розподілу маємо

За нерівністю Чебишева