Отношение делимости и его свойства
Делимость натуральных чисел
Как известно, вычитание и деление на множестве натуральных чисел выполнимо не всегда. Вопрос о существовании разности натуральных чисел а и b решается просто - достаточно установить (по записи чисел), что b < а. Для деления такого общего и простого признака нет. Поэтому в математической науке с давних пор пытались найти такие правила, которые позволили бы по записи числа а узнавать, делится оно на число b или нет, не выполняя непосредственного деления а на b. В результате этих поисков были открыты не только некоторые признаки делимости, но и другие важные свойства чисел; познакомимся с некоторыми из них.
В начальных курсах математики делимость натуральных чисел, как правило, не изучается, но многие факты из этого раздела математики неявно используются. Например, признак делимости суммы, разности и произведения на число тесно связаны с правилами деления суммы, разности и произведения на число, изучаемыми в начальных классах. В ряде курсов изучаются признаки делимости чисел на 2, 3, 5 и другие.
Вообще знания о делимости натуральных чисел расширяют представления о множестве натуральных чисел, позволяют глубже усвоить материал, связанный с делением натуральных чисел, применять полученные ранее знания о способах доказательства, о свойствах отношений и др.
Отношение делимости и его свойства
Определение. Пусть даны натуральные числа а и b. Говорят, что число а делится на число b, если существует такое натуральное число q, что a — bq.
В этом случае число b называют делителем числа а, а число а - кратным числаb.
Например, 24 делится на 8, так как существует такое q = 3, что 24 = 8·3. Можно сказать иначе: 8 - это делитель числа 24, а 24 есть кратное числа 8.
В том случае, когда а делится на b, пишут: а 
b. Эту запись часто читают и так: «а кратно b».
Заметим, что понятие «делитель данного числа» следует отличать от понятия «делитель», обозначающего то число, на которое делят. Например, если 18 делят на 5, то число 5-делитель, но 5 не является делителем числа 18. Если 18 делят на 6, то в этом случае понятия «делитель» и «делитель данного числа» совпадают.
Из определения отношения делимости и равенства а = 1·а, справедливого для любого натурального а, вытекает, что 1 является делителем любого натурального числа.
Выясним, сколько вообще делителей может быть у натурального числа а. Сначала рассмотрим следующую теорему.
Теорема1. Делитель b данного числа а не превышает этого числа, т.е. если a b, тo b≤a.
Доказательство. Так как а b, то существует такое q 
N, что a=bq и, значит, a-b = bq-b = b· (q- 1). Поскольку а N, то q≥l. Тогда b· (q- 1) ≥0 и, следовательно, b≤a.
Из данной теоремы следует, что множество делителей данного числа конечно. Назовем, например, все делители числа 36. Они образуют конечное множество {1, 2, 3,4, 6,9, 12, 18, 36}.
В зависимости от числа делителей среди натуральных чисел различают простые и составные числа.
Определение. Простым числом называется такое натуральное число, которое имеет только два делителя - единицу и само это число.
Например, число 13 - простое, поскольку у него только два делителя: 1 и 13.
Определение. Составным числом называется такое натуральное число, которое имеет более двух делителей.
Так число 4 составное, у него три делителя: 1, 2 и 4.
Число 1 не является ни простым, ни составным числом в связи с тем, что оно имеет только один делитель.
Чисел, кратных данному числу, можно назвать как угодно много, - их бесконечное множество. Так, числа, кратные 4, образуют бесконечный ряд: 4, 8, 12, 16, 20, 24, ..., и все они могут быть получены по формуле а = 4q, где q принимает значения 1, 2, 3,....
Нам известно, что отношение делимости обладает рядом свойств, в частности, оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Теперь, имея определение отношения делимости, мы можем доказать эти и другие его свойства.
Теорема2. Отношение делимости рефлексивно, т.е. любое натуральное число делится само на себя.
Доказательство. Для любого натурального а справедливо равенство а = а·1. Так как 1 N, то, по определению отношения делимости, а а.
Теорема 3. Отношение делимости антисимметрично, т.е.
если a b и а≠b, то 
.
Доказательство. Предположим противное, т.е. что b а. Но тогда а ≤ b, согласно теореме, рассмотренной выше.
По условию a b и а≠b. Тогда, по той же теореме, b≤а.
Неравенства а ≤b и b ≤а будут справедливы лишь тогда, когда а=b, что противоречит условию теоремы. Следовательно, наше предположение неверное и поэтому если a b и а≠b, то .
Теорема 4. Отношение делимости транзитивно, т.е. если a b и b с, то а с.
Доказательство. Так как a b, то существует такое натуральное число q, что a — bq, а так как b с, то существует такое натуральное число р, что b= ср. Но тогда имеем: a=bq = (cp)q = c(pq). Число pq - натуральное. Значит, по определению отношения делимости, а с.
Теорема 5 (признак делимости суммы). Если каждое из натуральных чисел а1, а2, ... , аn делится на натуральное число b, то и их сумма а1+а2+ ...+ аn делится на это число.
Доказательство. Так как а1 b, то существует такое натуральное число q1, что а1= bq1. Так как a2 b, то существует такое натуральное число q2, что а2 = bq2. Продолжая рассуждения, получим, что если аn b, то существует такое натуральное число qn, что аn = bqn. Эти равенства позволяют преобразовать сумму а1+а2+ ... + аn в сумму вида bq1 + bq2 + ... + bqn. Вынесем за скобки общий множитель b, а получившееся в скобках натуральное число q1 + q2 + ... + qn обозначим буквой q. Тогда а1+ а2 + ... + an = b(g1 + q2 + ... + qn)= bq, т.е. сумма а1 + а2 + ... + аn оказалась представленной в виде произведения числа b и некоторого натурального числа q. А это значит, что сумма а1+ а2 + ... + an делится на b, что и требовалось доказать.
Например, не производя вычислений, можно сказать, что сумма 175 + 360 + 915 делится на 5, так как на 5 делится каждое слагаемое этой суммы.
Теорема 6 (признак делимости разности). Если числа a1 и а2 делятся на b и а1 > а2, то их разность а1 - а2 делится на b.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству признака делимости суммы.
Теорема 7 (признак делимости произведения). Если число а делится на b, то произведение вида ах, где х N, делится на b.
Доказательство. Так как а b, то существует такое натуральное число q, что а = bq. Умножим обе части этого равенства на натуральное число х. Тогда ах = (bq)x, откуда на основании свойства ассоциативности умножения (bq)x – b(qx) и, значит, ах = b(qx), где qx - натуральное число. Согласно определению отношения делимости ах b, что и требовалось доказать.
Из доказанной теоремы следует, что если один из множителей произведения делится на натуральное число b, то и все произведение делится на b.
Например, произведение 24 – 976 - 305 делится на 12, так как на 12 делится множитель 24.
Рассмотрим еще три теоремы, связанные с делимостью суммы и произведения, которые часто используются при решении задач на делимость.
Теорема 8. Если в сумме одно слагаемое не делится на число b, а все остальные слагаемые делятся на число b, то вся сумма на число b не делится.
Доказательство. Пусть s = а1+ а2 + ... + an + с и известно,
что а1 b, а2 b ... an b, но 
. Докажем, что тогда 
.
Предположим противное, т.е. пусть s b. Преобразуем сумму s к виду с = s - (а1+ а2 + ... + an). Так как s b по предположению, (а1+ а2 + ... + an) b согласно признаку делимости суммы, то по теореме о делимости разности с b. Пришли к противоречию с тем, что дано. Следовательно, .
Например, сумма 34 + 125 + 376 + 1024 на 2 не делится, так как 34 2, 376 2,124 2, но 
.
Теорема 9. Если в произведении ab множитель а делится на натуральное число m, а множитель b делится на натуральное число n, то ab делится на mn.
Справедливость этого утверждения вытекает из теоремы о делимости произведения.
Теорема 10. Если произведение ас делится на произведение bс, причем с - натуральное число, то и я делится на b.
Доказательство. Так как ас делится на bс, то существует такое натуральное число q, что ас = (bc)q, откуда ас = (bq)c и, следовательно, а =bq, т.е. а b.
Признаки делимости
Рассмотренные в п. 88 свойства отношения делимости позволяют доказать известные признаки делимости чисел, записанных в десятичной системе счисления, на 2, 3,4, 5, 9.
Признаки делимости позволяют установить по записи числа делится ли оно на другое, не выполняя деления.
Теорема 11 (признак делимости на 2). Для того чтобы число х делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8.
Доказательство. Пусть число х записано в десятичной системе счисления, т.е. х = аn·10n + an-1 ·10n-1 + ... + а1·10 + а0, где аn, an-1,..., а1, принимают значения 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, аn ≠ 0 и а0 принимает значения 0,2,4,6,8. Докажем, что тогда х 2.
Так как 10 2, то 102 2, 103 2, ..., 10n 2 и, значит, (аn·10n + an-1 ·10n-1 + ... + а1·10) 2. По условию а0 тоже делится на 2, и поэтому число х можно рассматривать как сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 2. Следовательно, согласно признаку делимости суммы, число х делится на 2.
Докажем обратное: если число х делится на 2, то его десятичная запись оканчивается одной из цифр 0, 2,4, 6, 8.
Запишем равенство х = аn·10n + an-1 ·10n-1 + ... + а1·10+а в таком виде:
ао = х-( аn·10n + an-1 ·10n-1 + ... + а1·10). Но тогда, по теореме о делимости разности, ао 2, поскольку х 2 и (аn·10n + an-1 ·10n-1 + ... + а1·10) 2. Чтобы однозначное число а0 делилось на 2, оно должно принимать значения 0, 2, 4, 6, 8.
Теорема 12 (признак делимости на 5). Для того чтобы число х делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась цифрой 0 или 5.
Доказательство этого признака аналогично доказательству признака делимости на 2.
Теорема 13 (признак делимости на 4). Для того чтобы число х делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы на 4 делилось двузначное число, образованное последними двумя цифрами десятичной записи числа х.
Доказательство. Пусть число х записано в десятичной системе счисления, т.е. х = аn·10n + an-1 ·10n-1 + ... + а1·10 + а0 и две последние цифры в этой записи образуют число, которое делится на 4. Докажем, что тогда х 4.
Так как 100 4, то (аn·10n + an-1 ·10n-1 + ... + а1·10) 4. По условию, а1·10 + а0 (это и есть запись двузначного числа) также делится на 4. Поэтому число х можно рассматривать как сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 4. Следовательно, согласно признаку делимости суммы, и само число х делится на 4.
Докажем обратное, т.е. если число х делится на 4, то двузначное число, образованное последними цифрами его десятичной записи, тоже делится на 4.
Запишем равенство х = аn·10n + an-1 ·10n-1 + ... + а1·10 + а0 в таком виде: а1 ·10 + ао = х- (аn·10n + an-1 ·10n-1 + ... + а2·102). Так как х 4 и (аn·10n + an-1 ·10n-1 + ... + а2·102) 4, то по теореме о делимости разности (а1·10 + ао) 4 Но выражение а1 ·10 + а0 есть запись двузначного числа, образованного последними цифрами записи числа х.
Например, число 157872 делится на 4, так как последние две цифры в его записи образуют число 72, которое делится на 4. Число 987641 не делится на 4, так как последние две цифры в его записи образуют число 41, которое не делится на 4.
Теорема 14 (признак делимости на 9). Для того чтобы число х делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр его десятичной записи делилось на 9.
Доказательство. Докажем сначала, что числа вида 10n- 1 делятся на 9. Действительно, 10n - 1 = (9·10n-1+10n-1) - 1 = (9·10n-1+9·10n-2+10n-2)- 1 =
=(9·10n-1+9·10n-2+ ... +10)-1 = 9·10n-1+9·10n-2+ ... + 9. Каждое слагаемое полученной суммы делится на 9, значит, и число 10n - 1 делится на 9.
Пусть число х = аn·10n + аn-1·10n-1+ ... + а1·10 + а0 и (аn + аn-1_, + ... а1+ао) 9. Докажем, что тогда х 9.
Преобразуем сумму аn·10n + аn-1·10n-1+ ... + а1·10 + а0, прибавив и вычтя из нее выражение аn + аn-1+ ... + а1 + а0 записав результат в таком виде: х = (аn·10n - а n)+ (аn-1·10n-1- аn-1) = аn · (10n - 1) + аn-1· (10n-1- 1) + ... + а1· (10 - 1) + (аn + аn-1 +... ...+а1+а0).
В последней сумме каждое слагаемое делится на 9:
аn·(10n -1) 9, так как (10n -1) 9,
аn-1·(10n-1 -1) 9, так как (10n-1 -1) 9,
и т.д.
а1·(10-1) 9, так как (10-1) 9,
(аn + аn-1+ ... + а1+ а0) по условию.
Следовательно, х 9.
Докажем обратное, т.е. если х 9, то сумма цифр его десятичной записи делится на 9.
Равенство х = аn·10n + аn-1·10n-1+ ... + а1·10 + а0 запишем в таком виде: аn + аn-1, + ... + а1 + а0= х - (аn·(10n-1) + аn-1·(10n-1-1)+ ... + а1·(10-1). Так как в правой части этого равенства и уменьшаемое, и вычитаемое кратны 9, то по теореме о делимости разности (аn + аn-1+ ... + а1+ а0) 9, т.е. сумма цифр десятичной записи числа х делится на 9, что и требовалось доказать.
Например, число 34578 делится на 9, так как сумма его цифр, равная 27, делится на 9. Число 130542 не делится 9, так как сумма его цифр, равная 15, не делится на 9.
Теорема 15 (признак делимости на 3). Для того чтобы число х делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр его десятичной записи делилось на 3.
Доказательство этого утверждения аналогично доказательству признака делимости на 9.
Дата добавления: 2017-06-02; просмотров: 11685;