Использование статистики и возможные ошибки, возникающие при этом

Существует три вида лжи: просто ложь, гнусная ложь и статистика.

Дизраэли (1804-1881)

Когда мы хотим узнать что-нибудь о группе людей, часто бывает невозможно или неудобно спрашивать об этом всех членов группы. Предположим, что вы хотите выяснить, действительно ли доноры, сдающие кровь для Красного Креста, как правило, добрые и благородные люди. Поскольку вы не можете обследовать всех, кто сдает кровь, чтобы определить, насколько они добры и заботливы, вы обследуете только часть этого контингента, которая называется выборкой. Количественные показатели, рассчитанные на выборке людей, называется статистическими данными. (Статистикой также называется область математики, которая использует теорию вероятностей для принятия решений о контингентах.) (339:)

Статистические данные встречаются в любой сфере жизни — от средних результатов игроков в бейсбол до величины военных потерь. Многие люди вполне справедливо относятся к статистике подозрительно. Хафф (Huff, 1954) написал небольшую книжечку, в которой приводятся юмористические примеры статистических ошибок. Книга носит название «Как лгать с помощью статистики» (How to Lie With Statistics). В этой книге есть такая зарифмованная мысль: «Статистика умело грим наложит — немного пудры и немного краски — и факты на себя уж не похожи. Я отношусь к статистике с опаской» (р. 9).

О среднем

Если сказать, что в средней американской семье 2,1 ребенка, то что это будет означать? Это число было получено путем создания выборки из американских семей, подсчета общего количества детей в этих семьях и деления на количество семей в выборке. Это число может дать весьма точное представление о том, что в американских семьях примерно по два ребенка — в некоторых больше, а в некоторых меньше, а может и ввести нас в заблуждение. Возможно, что в половине семей совсем не было детей, а в другой половине было по четыре ребенка или даже больше, а читатель будет ошибочно считать, что в большинстве семей «примерно» два ребенка, в то время как на самом деле нет ни одной такой семьи. Эта ситуация напоминает человека, который держит голову в духовке, а ноги в холодильнике и говорит, что в среднем он чувствует себя вполне комфортно. Не исключено также, что выборка, использованная для получения этого статистического показателя, не репрезентативна для контингента — в данном случае для всех американских семей. Если выборка состояла из студентов колледжей или жителей Манхэттена, то полученный результат завышен. С другой стороны, если в выборку вошли жители сельских районов, то полученный результат занижен. Если выборки не отражают особенности контингента, то их называют нерепрезентативными выборками. Статистические данные, рассчитанные на таких выборках, не дают точной информации о контингенте.

Средние значения тоже могут вводить нас в заблуждение, поскольку существует три различных вида средних значений. Предположим, что у миссис Вонг пятеро детей. Старшая дочь сделала успешную карьеру и занимает пост управляющего большой корпорацией. Она зарабатывает $500 000 в год. Вторая дочь - учительница и зарабатывает $25 000 в год. Третий сын работает официантом и получает $15 000 в год. Оставшиеся дети — безработные артисты, получающие по $5000 в год. Если миссис Вонг хочет похвастаться, как хорошо живут ее дети, она может подсчитать среднее арифметическое их доходов, которое называют еще средним значением. Когда люди думают о средних показателях, они, как правило, имеют в виду среднее арифметическое. Это сумма всех значений, поделенная на число слагаемых. Средний доход детей миссис Вонг равен $550 000 : 5 = $110 000. Конечно, любой человек, услышав такую цифру, заключит, что у миссис Вонг очень успешные и состоятельные дети.

Средний доход детей миссис Вонг получился таким высоким из-за того, что в сумму входит одно очень большое слагаемое, в результате чего среднее значение (340:) возросло. Средние значения также называют оценками с тяготением к центру. Второй тип оценок с центральной тенденцией — это медиана, или срединное значение. На него не влияет наличие нескольких экстремальных значений величины. Чтобы найти медиану, значения выстраиваются в порядке возрастания или убывания. Значение, оказавшееся в середине ряда, и является медианой. Для примера с доходами детей миссис Вонг это будет выглядеть так:

$5000; $5000; $15 000, $25 000, $500 000

Средним значением, или медианой, будет третье значение, или $15 000. Таким образом, миссис Вонг могла бы также заявить, что ее дети зарабатывают в среднем по $15 000. (Когда число значений четное, медиана равна среднему арифметическому двух срединных значений.)

Миссис Вонг могла бы утверждать, что ее дети зарабатывают в среднем $ 110 000 или $15 000, и оба утверждения были бы правдивыми. Смысл приведенного примера в том, что следует осторожно относиться к средним показателям. Чтобы понять их смысл, необходимо знать, о каком типе значения идет речь — о среднем арифметическом или медиане, а также иметь представление об изменчивости данных и «форме» распределения (каким образом числа группируются).

Точность

Предположим, я сообщу вам, что проводилось научное исследование продолжительности рабочего дня у служащих. Более того, в результате этого исследования обнаружено, что средняя продолжительность рабочего дня равна 8,167 часа. Не правда ли, звучит наукообразно и внушительно? А если бы я сказала вам, что большинство служащих работает примерно по 8 часов в день? Большинство из вас ответило бы: «Я это и так знаю. Стоило ли проводить исследование?» Дело в том, что точные статистические данные часто производят на нас впечатление даже тогда, когда точность совсем не нужна.

Приведу пример из одного престижного еженедельного журнала новостей. Естественно, для журнала важно, чтобы читатели считали его статьи правдивыми и авторитетными. Несколько лет назад в нем была опубликована статья об угрозе здоровью жителей Нью-Йорка, которая возникает из-за собачьих экскрементов. Чтобы создать у читателей представление о масштабах проблемы, они подсчитали ежедневное количество собачьих экскрементов в Нью-Йорке с точностью до двух десятичных знаков (до одной сотой фунта!). Я понятия не имею, как они получили эту цифру, и мне даже думать не хочется о том, как они собирали данные. Я твердо уверена только в том, что они не могли точно измерить это количество. Зато, конечно, такие точные статистические данные произвели впечатление, что журнал публикует тщательно проверенную научную информацию, которой можно доверять.

Еще более смешной пример излишней точности связан с именем Марка Твена, одного из самых знаменитых писателей Америки. Однажды он заявил, что возраст реки Миссисипи — 100 миллионов и три года. Оказывается, за три года до этого Марк Твен узнал, что Миссисипи — 100 миллионов лет. (341:)

Значимые различия

Если вы хотите определить средний рост всех женщин, то вы можете создать выборку из 100 женщин, измерить их рост и вычислить среднее значение. Предположим, что вы взяли другую выборку из 100 женщин и снова определили их средний рост. Будете ли вы ожидать, что средние значения роста для этих двух выборок точно совпадут? Конечно, нет — очевидно, что будут наблюдаться некоторые отклонения. Эти средние значения рассчитаны на различных выборках, поэтому получены несколько отличающиеся результаты.

Допустим, кто-нибудь измерил рост женщин из выборки, состоящей из тех, кто живет в студенческом общежитии, и обнаружил, что их средний рост 5 футов и 5 дюймов. Затем он измерил рост женщин, которые не живут в общежитии, и обнаружил, что их средний рост 5 футов и 4½ дюйма. Можно ли на основании этих данных сделать вывод, что те, кто живет в общежитии, — выше ростом, чем те, кто там не живет? Надеюсь, что вы ответили «нет», потому что небольшие различия между группами могут носить случайный характер, особенно если размер выборки невелик, т. е. в нее входит малое количество людей. Существуют статистические методы для определения вероятности того, что различия между данными, полученными на двух или нескольких выборках, являются случайными. Если вероятность случайности очень мала, то такие различия называются значимыми различиями.

Вопрос о значимости изменений относится также и к контингентам. Если по списку численность студентов вашего колледжа увеличилась с 15 862 до 15 879 человек, то есть ли у администрации основания заключить, что подобное увеличение численности что-либо означает? Ответ на этот вопрос зависит от множества переменных. Если количество студентов в течение последних 5 лет ежегодно немного увеличивалось, то эти цифры могут отражать слабую, но постоянную тенденцию. С другой стороны, это сравнительно небольшое увеличение могло произойти из-за случайных колебаний, и тогда оно не отражает определенной тенденции. Из-за случайных факторов это число могло бы с таким же успехом уменьшиться. Точно так же изменение уровня безработицы с 10,0 % до 9,9% может или быть всего лишь случайным колебанием (флуктуацией), или указывать на конец экономического спада. Можно ожидать, что республиканцы и демократы по-разному будут интерпретировать такие цифры, в зависимости от того, кто в данный момент стоит у власти.

Экстраполяция

Экстраполяцией называется оценка значения величины путем продолжения ряда известных ее значений. Если число студентов, специализирующихся по психологии в Захолустном университете, за последние 5 лет составляло приблизительно 150, 175, 200, 225 и 250, соответственно, то большинство людей одобрительно отнесется к прогнозу, предсказывающему, что в следующем году количество студентов, специализирующихся по психологии, будет равно примерно 275.

Экстраполяция может приводить к ошибкам, которые иногда бывают смешными. Например, предположим, что нам надо исследовать уменьшение средней численности американской семьи с 1900 по 1950 г. С помощью экстраполяции мы мо-

жем получить прогноз, что вскоре средняя численность американской семьи будет равна нулю, а затем превратится в отрицательное число. Конечно, этого быть не может! Это все равно что сказать, что если время, за которое спринтеры пробегают стометровку, будет продолжать сокращаться, то в конце концов кто-нибудь пробежит ее за 0 секунд или за отрицательный промежуток времени.