Методика изучения нумерации чисел в пределах 100,1000 и многозначных чисел

1. Задача учителя при изучении нумерации чисел в пределах 100 – научить учеников считать до 100 (считать можно парами, пятками, десятками), показать, как образуются числа из десятков и единиц, научить читать и записывать двузначные числа, познакомить с новыми терминами: «единицы 1-го и 2-го разрядов», «сумма разрядных слагаемых», «однозначное и двузначное число».

В изучении нумерации выделяются две ступени: нумерация чисел 11 – 20; нумерация чисел 21 – 100. Это объясняется тем, что названия чисел второго десятка противоречат способу их записи. Во всех остальных случаях чтение и запись разрядных чисел совпадают. Эта особенность нумерации требует того, чтобы числа второго десятка были рассмотрены отдельно.

Числа второго десятка – двузначные числа. Для записи двузначного числа используется две цифры. Первая цифра справа в записи числа называется цифрой первого разряда или разряда единиц, вторая цифра справа – цифра второго разряда или разряда десятков.

Формирование представления о двузначных числах строится на основе понятия «разряд», которое является базовым в десятичной системе счисления. Под разрядом понимается определенное место в записи числа в позиционной системе счисления (разряд – это позиция цифры в записи числа).

Каждая позиция в этой системе имеет свое название и свое условное значение: цифра, стоящая на первой позиции справа, означает количество единиц в числе; цифра, стоящая на второй позиции справа, означает количество десятков в числе и т.д.

Знакомство с числами второго десятка (11 - 20) удобно проводить в следующей последовательности: 1) со способа их образования и названия чисел, сопровождая его сначала моделью на счетных палочках, а затем чтением числа по модели. В старину десяток называли «дцать». Учитель берет одну счетную палочку и кладет ее на пучок из десяти счетных палочек – десяток. Появляется запись на доске: один-на дцать, три-на-дцать, сем-на-дцать и т. д.

Запоминание названий двузначных чисел в этом случае не будет затруднено для учеников противоречащей названию записью: 11,13, 17. Для формирования правильного представления о структуре двузначного числа следует всегда класть десятки слева, а единицы справа.

2) На следующем этапе предлагаем ученикам соотнесение вещественной модели и символической записи.

13 15 17

3) Затем переходим на графические модели и к чтению чисел по графической модели:

12 13 17

4) Далее вводятся схематически разрядные модели

5) а затем символическая запись разрядного состава чисел второго десятка:

17=10+7.

В дальнейшем вводят понятие разряда и знакомят учеников с понятием «разрядные слагаемые».

37=30+7; 624=600+20+4.

При изучении нумерации чисел второго десятка используют следующие виды упражнений:

1. На способ образования чисел второго десятка. Покажи тринадцать палочек. Сколько это десятков и сколько единиц. Сколько всего в числе единиц?

2. На принцип образования натурального ряда чисел:

а) Уменьши на 1: 16, 11, 13, 20.

б) Увеличь на 1: 19, 18, 14, 17.

в) Найди значение выражения: 10+1; 14+1; 18-1; 20-1.

3. На поместное значение цифры в записи числа:

Что обозначает каждая цифра в записи числа: 15, 13, 18, 11, 20? (В записи числа 15 цифра 1 обозначает количество десятков, а цифра 5 – количество единиц. В записи числа 20 цифра 2 обозначает, что в числе 2 десятка, а цифра 0 обозначает, что в первом разряде единиц нет).

4. На место числа в ряду чисел:

Вставь пропущенные числа: 12, …, …, …, 16, 17, …, 19, 20;

Вставь пропущенные числа: 20, …, 18, 17, …, …, …, 13, …, 11.

(при выполнении упражнения ссылаются на порядок чисел при счете)

5. На разрядный (десятичный) состав:

10+3=… 13-3=… 13-10=…

12=10+… 15= …+5

( при выполнении упражнения ссылаются на разрядную (десятичную) модель числа из десятка (пучка палочек) и единиц (отдельных палочек).

6. На сравнение чисел второго десятка:

Какое из чисел больше: 13 или 15; 14 или 17; 20 или 12?

Сравнивая числа второго десятка с однозначными числами, следует ссылаться на то, что все однозначные числа меньше, чем двузначные:

Назови наибольшее и наименьшее из этих чисел: 12, 5, 18, 10, 7, 20.

При сравнении чисел второго десятка удобно пользоваться линейкой. Сравнивая длины соответствующих отрезков, ученик наглядно определяет постановку знака сравнения: 17 меньше 19.

2. Опираясь на сформированное понятие новой счетной единицы (разрядной) единицы – десятка, рассматривают образование и название разрядных чисел 20, 30 и т. д., а затем образование любых (неразрядных) чисел на основе счета десятков и единиц. Из общего порядка названий разрядных чисел выделяются два числа: 40 и 90. В названиях этих чисел нет привычной для других названий части «дцать». Ученые предполагают, что в древние времена на шитье кафтана или шубы расходовалась связка шкурок куницы или соболя, которую и называли « сорок». Позднее название «сорок» стали относить к самому числу. Название «девяносто» происходит от сочетания слов «9 до ста», т.к. от 90 до 100 девять единиц. Слово «сто» заимствовано из латинского языка, где оно звучит как «центум». Часть слова «цент» входит во многие слова, пришедшие к нам из латинского языка: процент, центнер.

Числа от 11 до 100 называют числами первой сотни. Все числа первой сотни – двузначные. Читают двузначные числа слева направо. Для чисел 21 – 100 порядок называния составляющих их разрядных чисел и порядок записи совпадает: 21 (два-дцать один).

Усвоению десятичного состава (выделение десятков и единиц в двузначном числе) чисел способствуют упражнения в образовании и разложении чисел. (Какое число составляют 5дес.7ед.? Сколько десятков и единиц в числе 62? И т.п.) С этой же целью рассматриваются случаи разрядного сложения и вычитания: 70+5; 8+20; 34-4; 34-30.

Одновременно с десятичным составом рассматривается натуральное следование чисел первой сотни. Для этого включаются упражнения в счете предметов, в присчитывании по одному и по десять с опорой на наглядное пособие – «ленту цифр». Применяются знания о натуральной последовательности чисел при выполнении таких упражнений: «Перед каким числом называют при счете число 79? После какого числа называют при счете число 100? Между какими числами называют при счете число 50? Решите примеры: 43+1; 43-1; 40+1; 40-1.

С целью систематизации знаний по нумерации полезно включать задания по характеристике заданных двузначных чисел. Например, характеризуя число 77, учащиеся могут назвать его десятичный состав (в числе 77 – 7дес. 7ед. или 7единиц 2-го разряда и 7 единиц 1-го разряда), показать место этого числа в натуральной последовательности (число 77 называют при счете после 76 и перед 78), об особенностях записи этого числа (то число двузначное, для его записи используются две цифры), представить число в виде суммы разрядных слагаемых (77=70+7).

Приведем основные виды упражнений, выполняемых учащимися при изучении нумерации чисел в пределах сотни:

1) на способ образования чисел первой сотни:

Назови число, в котором 1дес.9ед., 2дес.7ед., 9дес.2ед.

2) на соотнесение количественной модели, названия и записи числа:

Сколько кубиков на каждом рисунке?

Прочитай и запиши число по модели: два пучка палочек и четыре отдельных палочек.

3) на принцип образования натурального ряда чисел:

Уменьши на 1: 20, 47, 32, 50, 70

Увеличь на 1: 28, 44, 67, 40, 90

4) На поместное значение цифры в записи числа.

5) На место числа в ряду чисел:

Вставь пропущенные числа: 40, 41, …,43, …, …, …, 47, …, …, 50

Вставь пропущенные числа: 90, 80, …, …, 50, 40, …, 30, 20,10

6) на сравнение чисел первой сотни;

7) на разрядный состав;

8) на десятичный состав двузначных чисел:

Сколько десятков в числе 56, 78, 92?

9) на составление полной характеристики заданного числа.

Завершает изучение нумерации в пределах сотни знакомство с числом 100. Десять десятков составляют одну сотню(100) – наименьшее трехзначное число.

Совсем иной подход к изучению нумерации в системе развивающего обучения Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова, где уже с первых уроков математики число рассматривается как результат измерения. Материал построен таким образом, что сначала формируются представления о многозначном числе, а затем об однозначном, как его частном случае. Вводится понятие «мерки». Через измерения изучается позиционная форма записи его результата. Рассматриваются различные системы счисления и десятичная система счисления как одна из частных случаев. Вводится название разрядов, правила записи и чтения чисел. Рассматривается представление чисел в виде суммы разрядных слагаемых.

3. Задача учителя при изучении нумерации: 1) научить считать предметы в пределах 1000 (путем присчитывания по одному и используя группировку предметов в десятки и сотни), уметь называть, читать и записывать трехзначные числа; усвоить образование чисел из сотен, десятков и единиц, а также названия разрядных единиц и их соотношение; научить представлять число в виде суммы разрядных слагаемых; находить общее число единиц любого разряда в данном числе.

Подготовительную работу к изучению нумерации целесообразно начинать заранее, систематически включая устные упражнения на повторение нумерации чисел первой сотни:

- Сколько десятков в сотне? Во сколько раз десяток больше единицы? На сколько десяток меньше, чем сотня?

-В каком числе есть 5 десятков и 7 единиц; 6 единиц 2-го разряда и 3 единиц 1-го разряда? Сколько единиц каждого разряда в числах 49? 94?

- Присчитывание по 1 (по 5, по 10), начиная с числа 10 (20 и т. п.); назовите еще несколько чисел, следующих в ряду 34, 35, 36, …; назовите соседей числа 99 в ряду чисел. Как образуются эти числа?

Изучение устной нумерации чисел в пределах 1000целесообразно начинать с формирования у учащихся представления о сотне как новой счетной единице. Для этого считают какие-либо предметы по одному, десятками, сотнями. В практике можно использовать наглядное пособие «Квадраты и полоски», в котором единицы обозначаются квадратами ( квадратный сантиметр), десятки – полосками по 10 квадратов в каждой, а сотни – квадратами по 10 полосок в каждом (квадратный дециметр).

С помощью наглядных пособий учащиеся отсчитывают 10 десятков и заменяют их одной сотней, затем отсчитывают 10 сотен и заменяют их одной тысячей. Под руководством учителя ученики устанавливают соотношения между разрядными единицами:

10 единиц составляют 1 десяток,

10 десятков составляют 1 сотню,

10 сотен составляют 1 тысячу.

Далее идет счет сотен ( 1 сот., 2 сот., 3 сот.), сложение и вычитание сотен. На основе этих упражнений делается вывод о том, что сотнями считают так же, как десятками или простыми единицами

Затем по аналогии с предыдущими концентрами ученики могут сами ввести названия новых разрядных чисел: 1 сот. – сто; 2 сот. – двести и т. д.

Чтобы у учащихся не сложилось неправильное представление о натуральной последовательности чисел за пределами первой сотни, следует включать упражнения в счете предметов или в присчитывании по одному.

Далее учащиеся знакомятся с образованием чисел из сотен, десятков, единиц. Является необходимой таблица разрядов, в которой числа обозначаются сначала символически, а затем цифрами:

Сотни Десятки Единицы

Большой треуг. Мал. Треуг. Точка

При изучении устной нумерации учащиеся учатся устанавливать общее число единиц и общее число десятков, содержащихся в числе. Опираясь на наглядные пособия, учитель показывает, что, например, в числе 345 – 4 дес., но если сосчитать все десятки, т. е. и те, которые сгруппированы в сотне, то в данном числе всего содержится 34 десятка (в 3 сотнях 30 десятков, да еще отдельные 4 десятка). Необходимо добиться того, чтобы учащиеся быстро и безошибочно устанавливали общее количество десятков и единиц в числе.

Одновременно с рассмотрением десятичного состава чисел ведется работа над натуральной последовательностью с опорой на полученные ранее знания ( Найдите на «ленте тысячи» числа 400, 399. Какое из этих чисел больше? Какое меньше? На сколько? В каком порядке следуют эти числа при счете? Назовите число следующее при счете за числом 799, и т.д.).

При ознакомлении с письменной нумерациейчисел в пределах 1000, опираясь на умения учащихся записывать двузначные числа, необходимо показать, что сотни, т. е. единицы 3-го разряда, записывают на третьем месте, считая справа налево. Необходимо обратить внимание учеников на то, что цифра в зависимости от места в записи числа может иметь различное значение. Полезны упражнения на запись и чтение чисел, записанных одними и теми же цифрами. Ученикам предлагается сравнить разрядный состав этих чисел (1, 2, 3; 123, 132, 213, 231, 312, 321;). Особое внимание должно быть уделено использованию «0» в записи чисел: «0» указывает на отсутствие единиц в том или ином разряде, а не на отсутствие самого разряда.

Основные виды упражнений, предлагаемые ученикам при изучении нумерации чисел первой тысячи аналогичны упражнениям, выполняемых при изучении нумерации в пределах сотни.

4. Основные задачи изучения данной темы: 1) усвоить название разрядных единиц и их соотношение; 2) формировать навыки чтения и записи многозначного числа в пределах миллиона; 3) формировать умение представлять числа в виде суммы разрядных слагаемых.

На этапе подготовки к изучению темы необходимо закрепить знания учащихся о соотношении известных им разрядных единиц, о десятичном составе трехзначных чисел, о натуральной последовательности чисел в пределах 1000, о принципах записи трехзначных чисел.

Изучение нумерации многозначных чисел начинают с повторения образования числа 1000. Путем присчитывания по одному, начиная, например, с числа 995, учащиеся выписывают ряд чисел до 1000 включительно и устанавливают, что после наибольшего трехзначного числа идет первое наименьшее четырехзначное число. Основными наглядными пособиями являются счеты и нумерационная таблица (таблица разрядов и классов), наличие которой рекомендовано не только для общеклассного, но и для индивидуального пользования (см. табл.).

Таблица разрядов и классов

Необходимо пояснить, что тысячи можно считать как простые единицы (1 тыс., 2 тыс. и т.д.) и группировать их в десятки и сотни. Используя счеты, можно показать, что 10 единиц тысяч (откладывая косточки на 4-ой линеечке) составляют 1 десяток тысяч, 10 десятков тысяч составляют 1 сотню тысяч, 10 сотен тысяч составляют 1 миллион (откладываем косточки на 7-ой линеечке).

При расширении множества натуральных чисел последовательно ведется знакомство с новым классом чисел – классом тысяч, структура которого повторяет структуру уже известного ученикам класса – класса единиц. При работе с нумерационной таблицей, учитель поясняет, что единицы, десятки и сотни образуют I класс, или класс единиц, а единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч образуют II класс, или класс тысяч. Полезно затем сравнить I и II классы и установить их сходство и различие: в каждом классе по три разряда, единица каждого класса в 10 раз больше предыдущей, но в I классе считают и группируют единицы, а во II классе – тысячи.

При работе со счетами и разрядной таблицей следует особое внимание обратить на чтение и запись чисел с нулями. Например, в числе 2000 – три нуля на конце показывают отсутствие единиц I, II, III разрядов, т.е. отсутствие единиц I класса ( но не отсутствие самих разрядов или класса).

Рассматривается также десятичный состав чисел II класса:

- Назовите число, в котором 3 сотни тысяч и 5 десятков тысяч, 3 сотни тысяч и 5 единиц тысяч;

- Сколько единиц каждого разряда в числе 782 000?

- Сложите числа 500 000+40 000+8000.

- Замените число 675 000 суммой разрядных слагаемых.

В результате выполнения таких упражнений учащиеся приходят к обобщению: числа II класса образуются из тысяч точно так же, как числа I класса из единиц; при чтении чисел II класса добавляют слово «тысячи», а на письме пишут в классе тысяч, т.е. пишут цифрами на 4-ом, 5-ом, 6-ом местах, считая справа налево.

На следующем этапе приступают к изучению нумерации чисел, состоящих из I и II класса. Первые упражнения можно провести, используя нумерационную таблицу. Например, на нумерационной таблице обозначено число 438 000. После выяснения значения трех нулей в записи этого числа к нему прибавляют число I класса (127). Карточки с цифрами, обозначающими число I класса, помещаются на нули в записи числа II класса. Это дает возможность наглядно иллюстрировать запись чисел с нулями (438 107, 438 007). Учащиеся читают числа, записывают их сначала в таблице разрядов, а потом без нее. Необходимо обратить внимание детей, что при записи чисел полезно отделять классы небольшим промежутком.