Заміна змінних у подвійному інтегралі

Одним із методів спрощення обчислення подвійного інтеграла є метод заміни змінних у подвійному інтегралі.

Нехай у деякій області D для функції існує подвійний інтеграл .

За допомогою формул:

(1)

перейдемо до нових змінних u і v.

Будемо вважати, що формули (1) такі, що нові змінні u і v визначаються з них єдиним способом:

(2)

Формули (1) відображають область інтегрування D на площині хОу на області G на площині . Формули (2) описують зворотне відображення області G на область D. Таким чином, між точками областей встановлюється взаємно однозначне співвідношення.

Справедлива така теорема.

Теорема. Якщо перетворення (1) переводить замкнену обмежену область D в замкнену обмежену область G і є взаємно однозначним, і якщо функції (

1) мають в області G неперервні частинні похідні першого порядку і відмінний від нуля визначник

,

(3)

а функція неперервна в області D, то справедлива така формула заміни змінних:

,

(4)

Функціональний визначник (3) називається визначником Якобі або якобіаном. Таким чином, виконуючи заміну змінних в інтегралі за формулами (1), ми повинні елемент площі замінити елементом площі , і стару область інтегрування замінити відповідною їй областю G.

Приклад 1. Обчислити , якщо область D знаходиться у першій координатній чверті іобмежена кривими (рис. 2).

Рис. 2	Рис. 3

Розв’язання. Перейдемо до нових змінних u і v за формулами:

.

Тоді обернене перетворення виглядає так:

.

Обчислимо якобіан відображення:

.

Рівняння ліній набувають вигляду .

Область D площини хОу перетворюється на прямокутник G площини uО^*v (рис. 3).

Застосовуючи формулу (4), дістанемо

.

Розглянемо заміну декартових координат (x, y)полярними за відомими формулами:

.

(5)

За формулою (3) обчислимо значення якобіана:

.

(6)

Тоді вираз завжди при переході до полярної системи координат треба замінювати на вираз , і формула (4) набуває вигляду:

.

(4)

Зауваження. Застосування переходу до полярної системи координат при обчисленні подвійного інтеграла виявляється доцільним, коли

1) область інтегрування обмежена дугами кіл або іншими кривими, що мають прості рівняння у полярній системі координат;

2) підінтегральна функція містить вираз .

Рис. 4

Приклад 2. Обчислити , якщо область D обмежена колами та (рис. 4).

Розв’язання. Знайдемо у полярній системі координат рівняння кіл, що обмежують область D:

; ; ; ; .

; ; ; ; .

Кут у заданій області змінюється від до . Змінна змінюється від до .

Підставимо вирази (5) до підінтегральної функції:

.

Підставимо усі знайдені вирази до заданого інтеграла:

.