Функциональные ряды

Определение. Частичными суммами функционального ряда называются функции

Определение. Функциональный ряд называется сходящимся в точке , если в этой точке сходится последовательность его частных сумм. Предел последовательности называется суммой ряда в точке .

Определение. Совокупность всех значений х, для которых сходится ряд называется областью сходимостиряда.

Определение. Ряд называется равномерно сходящимся на отрезке , если равномерно сходится на этом отрезке последовательность частных сумм этого ряда.

Теорема. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда). Для равномерной сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для любого числа существовал такой номер , что при и любом целом неравенство

выполнялось бы для всех х на отрезке .

Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса) Ряд сходится равномерно и абсолютно на отрезке , если модули его членов на этом же отрезке не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда с положительными членами:

т.е. имеет место неравенство:

.

При этом говорят, что в этом случае функциональный ряд мажорируетсячисловым рядом .

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Так как всегда, то очевидно, что .

При этом известно, что обобщённый гармонический ряд при сходится, то в соответствии с признаком Вейерштрасса исследуемый ряд равномерно сходится и притом в любом интервале.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

На отрезке выполняется неравенство т.е. по признаку Вейерштрасса на этом отрезке исследуемый ряд сходится, а на интервалах , расходится.