Глава 2. Цифровые системы управления
2.1. Дискретные сигналы и их z-преобразование.
Ниже на рис. 2.1.1 приведена функциональная схема одноконтурной цифровой системы управления. Компьютер в этой системе по определенной программе обрабатывает представленную в цифровой форме информацию и выдает на выходе сигнал также в цифровой форме. Программа может быть написана так, что качество системы в целом будет равно или очень близко к заданному. Многие компьютеры способны принимать и обрабатывать несколько входных сигналов, поэтому цифровые системы управления часто бывают многомерными.
Рис. 2.1.1
Компьютер получает и обрабатывает сигнал в цифровом (численном) дискретном виде, а не в виде непрерывной переменной. В цифровой системе управления обязательно присутствует компьютер, входной и выходной сигнал которого представлены в виде числового кода. Преобразование непрерывного сигнала в цифровую форму осуществляет аналого-цифровой преобразователь (АЦП). Выходной сигнал компьютера (цифровой) преобразуется в непрерывную форму с помощью цифро-аналогового преобразователя (ЦАП). В результате любой непрерывный сигнал x(t) будет представляет собой последовательность дискретных значений x(kDt), где k = 0, 1, 2 целые числа.
Данные, получаемые о переменных системы только в дискретные моменты времени и обозначаемые как x(kDt), называются квантованными данными или дискретным сигналом.
Любое устройство, преобразующее непрерывный сигнал в дискретный, можно рассматривать как квантователь или ключ, который замыкается каждые Dt секунд на бесконечно малый отрезок времени. Рассмотрим идеальный квантователь, изображенный на рис. 2.1.2. Его входной сигнал обозначен как x(t) а выходной – x*(t) = = x(kDt) d(t – kDt), где kDt есть текущий момент замыкания, а d(t) – единичная импульсная дельта-функция (Дирака).
Рис. 2.1.2
Предположим, что мы квантуем сигнал x(t), как показано на рис. 2.1.3, и получаем x*(t). Тогда дискретный сигнал x*(t) можно представить в виде последовательности импульсов (условно обозначенных вертикальными стрелками), начинающихся при t = 0, разделенных интервалами в Dt секунд и имеющих амплитуды x(kDt).
Рис. 2.1.3
Цифроаналоговый преобразователь – это устройство, которое преобразует дискретный сигнал x*(t) в непрерывный сигнал p(t). Обычно его можно представить в виде фиксатора (экстраполятора нулевого порядка, ЭПО), как показано на рис. 2.1.4.
Рис. 2.1.4
Экстраполятор воспринимает значение x(kDt) и сохраняет его постоянным на интервале kDt < t < (k+1)Dt, как проиллюстрировано на рис. 2.1.5 для k = 0. Таким образом, значение x(kDt) имеет место на выходе экстраполятора в течение всего периода квантования. Рис. 2.1.5 соответствует реакции экстраполяторнулевого порядка на единичный входной сигнал. При этом, передаточная функция экстраполятора равна
. (2.1.1)
Рис. 2.1.5
Квантователь и фиксатор могут достаточно точно воспроизводить входной сигнал, если только он незначительно изменяется за время, равное периоду квантования Dt. Реакция квантователя и фиксатора на линейный входной сигнал изображена ни рис. 2.1.6.
Рис. 2.1.6
Z-преобразование дискретных сигналов.
Выходной сигнал x*(t) идеального квантователя представляет собой последовательность импульсов с амплитудами x(kDt)
. (2.1.2)
Преобразовав (2.6.2) по Лапласу (см. 1.3.1 стр. 19), получим
. (2.1.3)
Это выражение представляет собой бесконечный ряд по степеням члена esDt. Введем переменную z = esDt, возможно определить новое преобразование, называемое z-преобразованием
. (2.1.4)
Пример 2.6.1. Найдем z-преобразование единичной ступенчатой функции Xевисайда q(t)
. (2.1.5)
В общем случае z-преобразование функции f(t) определяется как
. (2.1.6)
Таблица 2.1.1 содержит z-преобразования часто встречающихся функций, а таблица 2.1.2 – его свойства. С более полной таблицей 2.1.1 можно познакомиться на сайте MCS.
Таблица 2.1.1
x(t) | X(s) | X(z) |
Ступенчатая функция Хевисайда, q (t) | 1/s | z / (z–1) |
Импульсная функция Дирака d(t) | ||
d(t–kDt) | exp(–kDt) | z-k |
t | 1/s2 | Dt z / (z–1)2 |
exp(– at) | 1/(s + a) | z / [z–exp(–aDt)] |
1 – exp(– at) | 1/s(s + a) | z [1– exp(–aDt)] / (z-1)[z–exp(–aDt)] |
sin(w t) | w /(s2 + w2) | z sin(wDt) / [z2–2zcos(wDt)+1] |
cos(w t) | s /(s2 + w2) | z [z –cos(wDt)] / [z2–2zcos(wDt)+1] |
exp(-at) sin(w t) | w /[(s2 + a2) + w2] | z exp(–aDt)sin(wDt) / [z2–2z exp(–aDt)* *cos(wDt)+exp(–2aDt)] |
exp(-at) cos(w t) | (s + a)/[(s2 + a2) + w2] | z2– z exp(–aDt)* *cos(wDt)/ [z2–2z exp(–aDt)* *cos(wDt)+exp(–2aDt)] |
Таблица 2.1.2
x(t) | |
1. k x(t) | k X(z) |
2. x1(t) + x2(t) | X1(z) + X2(z) |
3. x(t+Dt) | z X(z) – z x(0) |
4. t x(t) | –Dt z d X(z) / dz |
5. exp(–at) x(t) | X[z exp(at)] |
6. x(0), начальное значение | lim X(z) при z ® ¥ |
7. x(¥), конечное значение | lim(z–1)X(z) при z ® 1, если все полюсы (z–1)X(z) находятся внутри единичной окруж-ности êz ê= 1 на z-плоскости |
Передаточная функция разомкнутой дискретной системы.
Передаточная функция разомкнутой дискретной системы в z-области определяется по z-преобразованиям входного X(z) и выходного Y(z) сигналов
. (2.1.7)
Пример 2.1.2. Пусть разомкнутая дискретная система состоит из последовательно соединенных экстраполятора нулевого порядка (см. рис. 2.1.4) с передаточной функцией G0(s) (см. 2.1.1) и ТО с передаточной функцией GТO(s) = 1/ s (s+1), как показано на рис. 2.1.7.
Рис. 2.1.7
Требуется найти отклик системы на единичный импульсный входной сигнал x(t) = d(t) (функцию Дирака) при Dt = 1 c.
Передаточная функция по Лапласу данной системы равна
G(s) = G0(s) GТO(s) = [1–exp(–sDt)] / s2 (s + 1) =
= [1–exp(–sDt)] [(1/s2) + (1/s) + 1/(s+1)]. (2.1.8)
Выбирая из таблицы 2.1.1 z-преобразование для каждого из слагаемых (2.1.8), получим
G(z) = Z{[1–exp(–sDt)] [(1/s2) – (1/s) + 1/(s+1)]} =
= (1– z-1) Z{[(1/s2) – (1/s) + 1/(s+1)]} = (2.1.9)
= =
= .
Поскольку Dt = 1, то
G(z) = . (2.1.10)
Так, как X(z) = 1, то Y(z) = G(z). Поделим числитель (2.1.10) на его знаменатель
Следовательно,
Y(z) = 0,3678 z-1 + 0,7675 z-2 + 0,9145 z-3 + … (2.1.11)
Таким образом, на выходе системы в дискретные моменты времени (раз в секунду) будут появляться следующие значения:
y(0) = 0; y(1) = 0, 3678; y(2) = 0, 7675; y(3) = 0, 9145.
Передаточная функция замкнутой дискретной системы.
На рис. 2.1.8 показана замкнутая схема рассмотренной ранее разомкнутой цифровой системы (показаны некие условные ключи, работающие синхронно с экстраполятором).
Рис. 2.1.8
Передаточная функция такой системы равна
П(z) = . (2.1.12)
Пример 2.1.3. Пусть передаточная функция G(z) рассмотренной на рис. 2.1.8 замкнутой дискретной системы описывается выражением (2.1.10), как в примере 2.1.2. Требуется найти передаточную функцию П(z) замкнутой дискретной системы, а также – ее переходную характеристику, т.е. реакцию на единичную ступеньку x(t) = q(t) (функцию Хевисайда).
Подставляя (2.1.10) в (2.1.12), найдем
П(z) = . (2.1.13)
Так как z-преобразования функции Хевисайда равно X(z) = = z/(z–1), то
.
Произведя деление числителя на знаменатель по алгоритму, рассмотренному в примере 2.1.3, получим
Y(z) = 0,3678 z-1 + z-2 + 1,4z-3 +1,4z-4 + 1,147 z-5 + … (2.1.14)
Таким образом, на выходе замкнутой системы в дискретные моменты времени (раз в секунду) будут появляться следующие значения:
y(0) = 0; y(1) = 0, 3678; y(2) = 1; y(3) = 1,4; y(4) = 1,4; y(5) = 1,147.
2.2. Анализ устойчивости дискретных систем.
Линейная непрерывная система с обратной связью устойчива, если все полюсы ее передаточной функции П(s) расположены в левой половине s-плоскости (см. рис. 1.3.1 на стр. 21).
Z-плоскость и s-плоскость связаны преобразованием
z = exp(sDt) = exp[(s + jw)Dt]. (2.2.1)
Отсюда следует, что
½z ½= exp(sDt) и arg z = wDt. (2.2.2)
В левой половине s-плоскости s < 0, поэтому 0 £½z ½£ 1. Конформное отображение (2.2.1) переводит мнимую ось s-плоскости в единичную окружность на z-плоскости, а область внутри этой окружности соответствует всей левой половине s-плоскости.
Замкнутая дискретная система устойчива, если все полюсы ее передаточной функции П(z) расположены на z-плоскости внутри единичной окружности.
Пример 2.2.1. Рассмотрим систему, изображенную на рис. 2.1.8, где
G(z) = , (2.2.3)
a K – коэффициент усиления регулятора.
Поскольку знаменатель передаточной функции П(z) замкнутой системы равен 1+ G(z), то ее характеристическое уравнение имеет вид
q(z) = 1+ G(z) = z2–[1,3678–0,3678K]z +0,3678+0,2644K = 0.
При K = 1 получим
q(z) = z2 – z +0,6322 =
= (z – 0,50 + j0,6182)(z – 0,50– j0,6182) = 0.
Так как оба корня расположены внутри единичной окружности, то система устойчива.
Если K = 10, то
q(z) = z2 + 2,310z +3,012 =
= (z + 1,155 + j1,295)(z + 1,155– j1,295) = 0,
и система неустойчива.
Дискретная система второго порядка может стать неустойчивой при увеличении коэффициента усиления, тогда как непрерывная система второго порядка устойчива при любых значениях коэффициента усиления, если оба ее полюса находятся в левой половине s-плоскости.
2.3. Реализация цифровых регуляторов.
Рассмотрим непрерывный ПИД-регулятор с передаточной функцией (см. 1.6.6 стр. 42)
. (2.3.1)
Цифровую реализацию этого регулятора можно получить, если использовать дискретную аппроксимацию операций дифференцирования и интегрирования. Для производной по времени воспользуемся правилом правой разности (см. 1.2.5 стр. 17)
. (2.3.2)
Применив к (2.3.2) z-преобразование, получим
. (2.3.3)
Операцию интегрирования аппроксимируем с помощью формулы прямоугольников
, (2.3.4)
где u(kDt) – выход интегратора в момент t = kDt. Применив к (2.3.4) z-преобразование, получим
, или . (2.3.5)
Таким образом, передаточная функция цифрового ПИД- регулятора имеет вид
. (2.3.6)
Применим к (2.3.6) обратное z-преобразование и получим разностное уравнение, описывающее алгоритм работы цифрового ПИД-регулятора
u(k) = K1 e(k) + K2 [u(k–1) + Dt e(k)] + [e(k) – e(k–1)] =
= K2 u(k–1) + [K1 + K2 Dt + ] e(k) – e(k–1). (2.3.7)
Вычисление по уравнению (2.3.7) легко выполнить с помощью компьютера.
2.4. Модели систем в переменных состояния.
Широкое применение цифровых компьютеров побуждает рассматривать и описывать системы управления во временной области. Соответствующие методы являются более мощными по сравнению с рассмотренным выше методом преобразования Лапласа для анализа линейных систем управления с постоянными параметрами, т.к. могут быть применены к нелинейным, нестационарным и многомерным системам. Нестационарная система управления – это система, в которой один или более параметров являются функциями времени.
Переменные состояния динамической системы.
Предположим, что система управления описывается дифференциальным уравнением второго порядка
B d2y(t) /dt2 + C dy(t) /dt + D y(t) = x(t). (2.4.1)
Выберем в качестве переменных состояния координату y(t) и скорость ее изменения dy(t)/dt. Введем обозначения этих переменных
y1(t) = y(t), (2.4.2)
y2(t) = dy(t)/dt.
Тогда вместо дифференциального уравнения (2.1.1) второго порядка можно рассматривать систему дифференциальных уравнений первого порядка
dy1(t) /dt = 0 y1(t) + y2(t), (2.4.3)
dy2(t) /dt = – (D/B) y1(t) – (C/B) y2(t) + (1/B) x(t).
Эти уравнения описывают поведение системы в терминах скорости изменения каждой переменной состояния. Более того, переменные состояния описывают поведение системы в будущем, если известны текущие состояния, внешние воздействия и уравнения динамики системы.
В общем случае состояние системы описывается дифференциальными уравнениями первого порядка относительно каждой из переменных состояния
x¢1 = a11 x1 + a12 x2 + … +a1n xn + b11u1 + b12u2 +…+ b1mum ,
x¢2 = a21 x1 + a22 x2 + … +a2n xn + b21u1 + b22u2 +…+ b2mum ,
……………………………………………………………. ,
x¢n = an1 x1 + an2 x2 + … +ann xn + bn1u1 + bn2u2 +…+ bnmum ,
где x¢ = dx(t)/dt. Эту же систему дифференциальных уравнений можно записать в матричной форме
,
или более компактном виде
, (2.4.4)
используя векторы-столбцы x и u, а также матрицы A = [anm] и B = [bnm].
В общем случае выходные сигналы линейной системы связаны с переменными состояния и входными сигналами уравнением вида
y = Cx + Du, (2.4.5)
где y – совокупность выходных сигналов, представленных вектором-столбцом.
Пример 2.4.1. Запишем уравнение состояния для RLC цепи, изображенной на рис. 2.4.1.
Рис. 2.4.1
Введем обозначения переменных состояния x1 = uC , а x2 = iL. Тогда, на основании уравнений Кирхгофа для токов, получим
dx1(t) /dt = 0 x1(t) – x2(t) + u(t), (2.4.5)
dx2(t) /dt = x1(t) – x2(t).
Выходной сигнал равен
y1(t) = uR(t) = R x2(t). (2.4.6)
Таким образом, уравнение состояния в векторной форме имеет вид
, y(t) = [0 R] x(t). (2.4.7)
Дата добавления: 2016-06-02; просмотров: 1220;