Зависимость газодинамических параметров от числа Маха. Газодинамические функции

Число Маха это отношение скорости к скорости звука:

.

Запишем уравнение энергии в виде:

,

разделим левую и правую часть на :

.

Т.к. , а , имеем:

,

соответственно:

,

.

Таким образом:

- температура соответствующая заторможенному потоку ( ).

Эта формула показывает, что температура при росте числа Маха М, в той точке, где поток затормозится, может достигать значительных величин.

,

перепишем это выражение в виде:

, где - изменение температуры.

.

Выразим изменение температуры .

.

Подставляя в формулу различные значения скорости полёта аппарата, получим соответствующие значения изменения температуры:

V=240 м/с DТ=28,6 градусов. Соответствует полету с М=0,8.

V=600 м/с DТ=179 градусов. Соответствует полету с М=2.

V=2500 м/с DТ=3111 градусов. Соответствует участку максимальных тепловых нагрузок спускаемого аппарата в плотных слоях атмосферы.

При заданных значениях параметров аппарат, проходя через атмосферу, нагрелся на 3111 градусjd.

Газодинамические функции записываются в обратном виде:

,

,

.

Пусть - число Маха , требуется найти для .

Найдем отношение :

. Пользуясь таблицей, находим неизвестное значение .

При составлении таблицы существует неудобство, т.к. значения .

.

Приведенная скорость (коэффициент скорости)

- приведенная скорость (коэффициент скорости).

Получим связь между и . Запишем уравнение энергии:

,

преобразуем первый член и перепишем в виде:

,

разделим левую и правую часть на :

,

Учитываем, что

,

получим

,

,

Окончательно получим связь между коэффициентом скорости и числом Маха

.

соответствует , тогда:

,

раскрывая неопределимость при помощи правила Лапиталя, получим:

.

Для воздуха , .

Сопло Лаваля

Запишем уравнение неразрывности для осесимметричного потока:

Продифференцируем это уравнение и разделим на :

Скорость звука

Дифференцируя уравнение энергии , получим:

Получим уравнение (уравнение Гюгонио)

Если поток дозвуковой , то

Если поток сверхзвуковой , то

График изменения скорости по соплу:

Если , то это повышенное давление должно проникнуть в сопло. Оно приводит к тому, что в сопле образуется прямой скачок уплотнения, на котором звуковая скорость будет падать и становится дозвуковой.

Замечание: сверхзвуковую скорость можно получить в цилиндрической трубе. Существует два принципиальных способа:

Можно добавлять газ по определенному закону, а потом отнимать газ по другому закону (расходное сопло)

Можно нагревать и охлаждать трубу по определенному закону (тепловое сопло)