Физического маятника
Определение момента инерции тел методом колебаний
Физический маятник – это твёрдое тело, способное совершать колебания вокруг оси, лежащей выше его центра масс. Такое «устройство» оказывается весьма полезным. Так, с его помощью очень просто и с огромной степенью точности определяется ускорение силы тяжести. Также физический маятник позволяет определять моменты инерции различных твёрдых тел.
Малые колебание маятника вокруг оси – это его небольшие повороты в противоположные стороны, поэтому понять колебания физического маятника – это понять механику вращения. Механика вращения имеет тесную аналогию с механикой поступательного движения. Аналогия проявляется в основных понятиях механики, её идеях и закономерностях, и как следствие – в формулах и уравнениях, что удобно представить в виде «таблицы аналогий », которую следует твердо усвоить:
I. Кинематика
Поступательное движение Вращательное движение
| t время | t время |
| s путь | φ угловой путь (угол поворота тела вокруг оси) |
| v = ds/dt ≈ ∆s/∆t скорость (путь, пройденный за единицу времени | ω = dφ/dt ≈ ∆φ /∆t угловая скорость (угол поворота тела за единицу времени |
| a= dv/dt= d2s/dt2 ускорение (изменение скорости тела за единицу времени) | ε = dω/dt= d2φ//dt 2 угловое ускорение (изменение угловой скорости за единицу времени) |
II. Динамика
| F – сила (мера воздействия одного тела на другое; причина, изменяющая состояние движения) | M – момент силы (способность силы поворачивать тело; причина, изменяющая состояние вращения) |
| m – масса (мера инертности тела) | Iz - момент инерции (инертность тела при вращении) |
| p= mv – импульс ( запас движения) | L = Izω - вращательный импульс; он же – момент импульса ( запас вращения) |
Основной закон динамики (уравнение движения)
 a=F/m
| ε =M/Iz |
(Рекомендуем студенту дополнить этот перечень аналогий для кинематики равномерного и равноускоренного движения, а также для работы, энергии и законов сохранения).
Мы видим, что в динамике вращения появились три новые величины с замысловатыми названиями: момент силы, момент инерции, момент импульса (он же угловой момент, он же вращательный импульс!). Да не болит голова у читателя по поводу таких названий; они появились в результате терминологических недоразумений прошлых веков с добавкой неадекватности перевода с иностранных языков; совершенно бесполезно вникать в смысл этих названий. Их надо просто запомнить. Для момента импульса это недоразумение достигает максимума – целых три названия. К счастью, одно из них оказалось порядочным – вращательный импульс, что просто отражает его аналогию соответствующей величине поступательного движения – обычному импульсу.
Дадим пояснения моменту силы M и моменту инерции Iz .
Момент силы. Возьмём твёрдое тело, закреплённое на оси. Приложим к нему в некоторой точке силу, и пусть линия действия силы пересекает ось вращения. Такая сила либо изогнёт ось вращения, либо вырвет ось из своего укрепления вместе с телом, ничего более.
Изменим немного опыт – сдвинем линию действия той же силы от оси на расстояние l . Эффект скажется незамедлительно: тело начнёт легко поворачиваться. Сила приобрела способность поворачивать тело. Эту способность силы поворачивать называют «моментом силы». Повседневный опыт говорит, что способность силы поворачивать тело зависит не только от силы, но и от «плеча силы» l (кратчайшего расстояния от линии действия силы до оси вращения). В итоге величина момента силы равна произведению силы на плечо:
M=Fl (1)
Момент инерции относительно оси. Как уже было отмечено в «таблице аналогий», момент инерции (не обращать внимание на заумное название!) – величина, характеризующая инертность тела при вращении. Рассмотрим два совершенно одинаковых по форме и размерам волчка, но с заметно отличающими массами, скажем, алюминиевый и свинцовый. Мы легко обнаружим, что раскрутить до некоторой скорости (а так же потом остановить!) алюминиевый волчок гораздо легче, чем свинцовый. Значит, инертность тела при его вращении пропорциональна массе.
Далее, если бы у нас была возможность сильно расплющить любой волчок, отодвинув значительную часть его массы как можно дальше от оси вращения, превратив его в диск, то мы бы тот час обнаружили, что раскручивать (и останавливать) его стало заметно труднее, по сравнению с тем, когда он был компактным. Значит, инертность тела при вращении зависит не только от массы, но и от степени удаления её частей от оси вращения.
Момент инерции материальной точки массы m, находящейся на расстоянии r относительно оси z(рис.1), есть величина, равная произведению её массы на квадрат расстояния до оси вращения
Iz = mr2 (2)
А чему равен момент инерции произвольного тела (рис.2)? Опыт показывает, что он равен сумме моментов инерции частей, на которые можно разбить любое тело. Замечательно при этом, что величина момента инерции не зависит от способа разбиения целого на части (это свойство называется аддитивностью; оно нам при годится для проверки результатов лабораторной работы). Разбивая тело на весьма малые, почти точечные массы Dmi , каждая из которых отстоит от оси вращения на расстоянии ri, учитывая аддитивность момента инерции и определение (2) для Iz материальной точки, получаем общее выражение момента инерции произвольного тела относительно оси Zв виде суммы моментов инерции материальных точек, на которые разбито тело:
(3)
В пределе, когда Dmi строго превращаются в материальные точки, сумма(3)сводится к интегралу по объёму тела, и для тел простой (правильной) формы она точно вычисляется (таблицу моментов инерции тел правильной формы можно найти в справочниках и учебниках по общей физике). Отметим в заключение полезную формулу, известную как теорема Штейнера, позволяющую найти момент инерции тела относительно произвольной оси Z, если известен момент инерции тела Ic относительно оси, проходящей через центр инерции C (он же - центр масс, он же - центр тяжести) и параллельной данной оси:
Iz =Ic+ ma2 , (4)
здесь m – масса тела, a – расстояние между осями.
Теперь мы готовы к рассмотрению колебаний физического маятника (рис.3). Если отклонить его от положения равновесия на малый угол φ и предоставить самому себе, он начнёт совершать «малые» колебания. Для описания колебаний будем использовать один из основных способов решения физических задач – метод уравнения движения.
Уравнение движения в динамике вращения уже записано в «таблице аналогий»; оно отражает основной закон динамики вращения: если на тело действует внешняя сила, приводящая к возникновению момента силы, то тело вращается, причём его угловое ускорение пропорционально моменту силы и обратно пропорционально его моменту инерции:
(5)
Будем считать, что сила тяжести – единственная сила в нашей задаче, приложена к центру масс маятника (в теоретической механике этот прием строго обосновывается). Эта сила создает относительно оси вращения момент, равный
M = -Pl = - Pa sinφ = - mga sinφ ≈ - mgaφ (6)
Здесь учтено, что при малых отклонениях маятника синус угла можно заменить его аргументом (выраженным в радианах) sinφ ≈φ. Знак минус говорит о том, что при отклонении маятника на угол φ против часовой стрелки возникает момент силы тяжести, стремящийся повернуть маятник по часовой стрелке, т.е. возвратить его к положению равновесия.
В уравнении (5) искомая величина Iz. Остаётся расшифровать угловое ускорение. Угол отклонения φ (угловой путь!)зависит от времени, а угловое ускорение всегда есть вторая производная углового пути по времени (см. "таблицу аналогий"):
(7)
Подставляя (6) и (7) в (5), получаем уравнение движения малых колебаний физического маятника:
. (8)
Из математики известно, что решение такого уравнения существенно зависит от знака коэффициента при φ . Величина mga/IZ заведомо положительна. Чтобы подчеркнуть это важное обстоятельство, mga/IZ записывают в виде квадрата некоторой действительной величины wo:
(9)
Теперь уравнение движения маятника принимает вид стандартного уравнения движения для гармонических колебаний
(10)
Решение этого уравнения представляет собой гармоническую функцию:
φ = φmax cos w0t. (11)
Это легко доказать, подставляя из (11) выражение для φ и 
в (10), в результате чего получаем 0=0.
В гармоническом колебании (10) φmax – амплитуда колебаний, а woобретает точныйсмысл циклической частоты – числа колебаний за 2π секунд. (Учитывая, что за период колебания Т аргумент косинуса возрастает на 2π, имеем wo(t+T)=wot+2π, откуда wo =2π/T, т.е. именно число периодов за 2π секунд).
Период колебаний
(12)
В итоге получаем формулу для экспериментального определения момента инерции физического маятника:
(13)
Дата добавления: 2016-03-15; просмотров: 1739;