НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Пусть непрерывна на ; где непрерывно дифференцируема на ; , при существует обратная функция непрерывно дифференцируемая при . Тогда

(так как при и ). При этом интегралы в левой и правой частях этой формулы (если они являются несобственными) сходятся или расходятся одновременно.

3. Несобственные интегралы от неотрицательных функций

Рассматриваются два несобственных интеграла, каждый из которых имеет одну особенность в точке : 1) и 2) .

Теорема 1 (сравнения). Пусть для Тогда, если интеграл 2) сходится, то сходится и интеграл 1), а если интеграл 1) расходится, то расходится и интеграл 2).

▲ Пусть интеграл 2) сходится и Рассмотрим функцию где . Эта функция не убывает и ограничена сверху на , так как при

Но всякая неубывающая, ограниченная сверху функция имеет конечный предел, следовательно существует конечный предел т.е. интеграл 1) сходится.

Если же интеграл 1) расходится, то расходится и интеграл 2), так как если бы этот интеграл сходился, то, по уже доказанному утверждению, сходился бы и интеграл 1), что противоречит условию теоремы. ■

Замечание. На самом деле для справедливости теоремы достаточно выполнения неравенства только для , достаточно близких к : если для , то в правой части этой формулы первый интеграл является некоторым числом, а ко второму применима теорема 1.

Возможность применения теоремы сравнения зависит от справедливости неравенства , которое во многих случаях не является существенным для результата. Поэтому для исследования несобственных интегралов на сходимость часто более удобной оказывается следующая теорема.

Теорема 2 (сравнения в предельной форме). Пусть для и существует , где . Тогда интегралы 1) и 2) сходятся или расходятся одновременно (что обозначается как ~ ). При из сходимости 2) следует сходимость 1), а при из расходимости 2) следует расходимость 1).

▲ Пусть интеграл 2) сходится. Так как , то для , достаточно близких к , , и так как тоже сходится, то, по замечанию к теореме 1, сходится и интеграл 1). Эта часть доказательства справедлива и при

Пусть теперь сходится интеграл 1). Так как , то, по уже доказанной первой части теоремы, интеграл 2) тоже сходится.

Если , то , тогда из сходимости интеграла 1) следует сходимость интеграла 2), а значит, из расходимости интеграла 2) следует расходимость интеграла 1) (доказательство методом от противного: пусть 1) сходится, тогда, как только что было отмечено, сходится 2), а это не так). ■

В примерах в качестве одного из интегралов 1) и 2) берется исследуемый на сходимость интеграл, а в качестве другого часто берется один из интегралов, рассмотренных в параграфе 2: сходится при и расходится при ; сходится при и расходится при

Пример 1. Исследовать на сходимость несобственный интеграл .

Решение.

. Используем теорему 2: ~ , а этот интеграл сходится ~ а этот интеграл сходится Т.е. исходный интеграл сходится (строгое обоснование: ).

Пример 2. Исследовать на сходимость несобственный интеграл .

Решение.

расходится, так как, в силу первого замечательного предела ~ , а последний интеграл расходится ( ).

4. Несобственные интегралы от функций произвольного знака

Определение 2. Рассмотрим несобственный интеграл с одной особенностью в точке . Этот интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .

Теорема 3. Если сходится, то тоже сходится, т.е. если несобственный интеграл абсолютно сходится, то он сходится в обычном смысле.

Введем функции , ,

тогда . Так как , , то по теореме 1 из сходимости интеграла следует сходимость интегралов и , а отсюда, по свойству 3. параграфа 2, следует сходимость интеграла ■

Замечание. Пусть абсолютно сходится. Так как при , то, переходя в этом неравенстве к пределу при , получаем: .

Определение 3. Несобственный интеграл называется условно сходящимся, если он сходится, а расходится.

Пример. Интеграл условно сходится (без доказательства).

5. Главное значение несобственного интеграла

Как известно, для интеграла с двумя особенностями в точках и ,

а для интеграла с одной особенностью во внутренней точке

.

Главное значение несобственного интеграла обозначается буквами

Определение 4. По определению

, (2)

, (3)

если эти пределы существуют и конечны. В таком случае интеграл называется сходящимся в смысле главного значения.

Так как определение главного значения несобственного интеграла является частным случаем общего определения несобственного интеграла, то если несобственный интеграл сходится, то он сходится и в смысле главного значения, и его главное значение равно самому интегралу. Но возможны случаи, когда расходящийся несобственный интеграл сходится в смысле главного значения.

Пример. Найти главное значение несобственного интеграла .

Решение.

Известно, что расходится: , и в этих интегралах , но .

ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА

1. Собственные и несобственные интегралы, зависящие от параметра

Определение 5. Рассмотрим функцию

, (4)

где – некоторая функция двух переменных. Такой интеграл называется интегралом, зависящим от параметра, а переменная называется параметром.

При различных значениях правая часть формулы (4) дает различные значения интеграла (если этот интеграл вообще существует), поэтому этот интеграл действительно является функцией параметра .

Сначала рассмотрим обычные (как говорят, собственные) интегралы, зависящие от параметра.

Через обозначим замкнутый прямоугольник на плоскости : .

Приведем (без доказательства) основные свойства собственных интегралов, зависящих от параметра.

Теорема 4. Пусть функция непрерывна на прямоугольнике . Тогда функция непрерывна на отрезке .

Теорема 5. Пусть функция непрерывна на прямоугольнике . Тогда .

Теорема 6. Пусть функции и непрерывны на прямоугольнике . Тогда при существует .

Пример. Вычислить интеграл .

Решение.

. Дифференцируем обе части по , используя теорему 6:

Теоремы 4 – 6 применять к несобственным интегралам возможно только при определенных условиях, которые мы в силу сложности этих условий и недостатка времени, разбирать не будем, ограничившись лишь примером.

Пример. Вычислить несобственный интеграл .

Решение.

Этот интеграл имеет одну особенность , так как в точке 0 функция имеет конечный предел: по правилу Лопиталя . Далее имеем: Первый из этих интегралов не является несобственным, т.е. равен некоторому числу, а второй сходится или расходится одновременно с интегралом , который сходится при : и сходится, так как . Значит сходится при

а так как то и

Конечно, нужно еще проверить правомерность наших выкладок.

2. Гамма-функция

Существует ряд функций, которые задаются (сходящимися) несобственными интегралами. В этом параграфе мы рассмотрим одну из таких функций.

Определение 6. Гамма-функцией называется функция , которая задается следующим несобственным интегралом:

. (5)

Данный интеграл является несобственным. У него две «особенности»: бесконечный предел ( ) и разрыв подынтегральной функции при х = 0 (если ).Докажем, что этот интеграл сходится при всех (т.е. формула (5) определяет гамма-функцию при ). По определению интеграла с несколькими «особенностями», его надо представить в виде суммы интегралов с одной «особенностью» в каждом:

.

1. Согласно теореме сравнения в предельной форме 2, сравним с : и сходится при сходится при (и расходится при ).

2. Докажем, что сходится при всех (фактически, это следует из того, что при стремится к нулю быстрее, чем в любой степени). Сравним, например, со сходящимся интегралом (если , то последнее равенство очевидно; если же , то нужно достаточное количество раз применить правило Лопиталя, при этом знаменатель не меняется, а из числителя , в конце концов, «уйдет», что и даст нужный нам результат), следовательно, по теореме сравнения в предельной форме 2 (случай ), сходится при всех .

3. Следовательно, сходится при и расходится при .

Нахождение значений гамма-функции ( )

1. Формула приведения

. (6)

▲ Применяя формулу интегрирования по частям, имеем:

. Здесь

,

. ■

2. Гамма-функция от 1

. (7)

▲ . ■

3. Гамма-функция натурального аргумента

(8)

▲ Пусть – натуральное число, тогда по формуле приведения

■

В частности, .

4. Гамма-функция от

. (9)

▲ . Сделаем замену , , . Тогда .

Замечание. . (10)

Это так называемый интеграл Эйлера-Пуассона; вычислить его в данный момент достаточно сложно; формула (10) будет доказана позднее, она будет получена путем перехода к полярным координатам в двойном интеграле. ■

5. Гамма-функция полуцелого аргумента

Введем обозначения: ; . Тогда справедлива следующая формула:

, . (11)

▲

. ■

Примеры. Вычислить значения и .

Решение.

; .

6. Гамма-функция отрицательного аргумента

До сих пор мы определяли гамма-функцию для положительных (лишь для них сходится ). Формула приведения может служить определением гамма-функции отрицательного аргумента. Из этой формулы

. (12)

Теперь, зная , мы находим . Если , то , а на этом интервале гамма-функция уже известна. Таким методом мы найдем гамма - функцию для . Точно так же, зная гамма - функцию при , по формуле (12) найдем гамма - функцию для и т.д. В итоге мы найдем гамма - функцию во всех отрицательных нецелых точках.

Получим формулу для гамма - функции в отрицательных полуцелых точках.

. (13)

Примеры. Найти значение гамма - функции в отрицательных полуцелых точках.

Решение.

; .