Лекция 13. Выводы логики высказываний.

ПЛАН

1. Условное и условно-категорическое умозаключение.

2. Разделительное и разделительно-категорическое умозаключение.

3. Условно-разделительное (лемматическое) умозаключение.

Если в логике предикатов простые суждения расчленяются на термины, то в логике высказываний простые суждения рассматриваются как элементарные формы мысли, из которых при помощи логических связок образуются сложные суждения.

Условным умозаключением называется такой вывод, в котором все посылки являются условными суждениями. Например: «Если хорошо подготовлюсь к экзаменам, то сессию сдам успешно. Если сдам успешно сессию, то буду получать стипендию. Следовательно, если хорошо подготовлюсь к экзаменам, то буду получать степендию». Формула этого примера такова: ((а→b)&(b→c)) →(a→c).

Условно-категорическое умозаключение – это такой дедуктивный вывод, в котором одна из посылок – условное суждение, а другая – простое категорическое суждение. Условно-категорическое умозаключение имеет два правильных (демонстративных) модуса и два неправильных (вероятностных) модуса.

Правильные модусы – это утверждающий и отрицающий модусы. В утверждаюшем модусе (modus ponens) умозаключение строится от утверждения основания к утверждению следствия. Формула: ((а→b) &а) →b. Любое использование законов науки, правил основано на утверждающем модусе, дающем достоверное заключение, поэтому в мышлении он очень широко применяется. Например: «Если истопить печь, то в доме станет теплее. Мы истопили печь, значит скоро потеплеет». В отрицающем модусе условно-категорического силлогизма (modus tollens) достоверное заключение строится от отрицания следствия к отрицанию основания. Формула:((а→b)& ┐b)→ ┐a. Отрицающий модус применяется не реже, чем утверждающий, он широко используется, например, в доказательствах от противного. Пример отрицающего модуса: «Если идёт дождь, то листва тополя намокает. Листва сухая, следовательно, дождя нет».

Условно-категорическое умозаключение может содержать не только достоверное, но и вероятностное заключение. Существуют два вероятностных (неправильных) модуса этого вывода: ((a→b) & b) →◊a; ((a→b) & ┐a)→ ◊ ┐b. Это означает, что нельзя достоверно заключать от утверждения следствия к утверждению основания, либо - от отрицания основания к отрицанию следствия. Тем не менее, вероятностные выводы, построенные по этим формулам, очень широко используются в познании. Заключения, которые в них образуются не могут быть приняты как достоверно истинные, они нуждаются в дополнительной проверке, но как гипотезы они могут оказаться очень полезны. Поэтому знание правил условно-категорического силлогизма очень важно – оно поможет нам отделить вероятностные выводы от достоверных, так как в живом мышлении модальный оператор «возможно» встречается редко. Примеры неправильных модусов:

1. Если прекратится подача тока, то остановится электротранспорт.

Электротранспорт остановлен.

Прекращена подача тока.

2. Если прекратится подача тока, то остановится электротранспорт.

Подача тока не прекращалась.

Электротранспорт не останавливался.

Разделительное умозаключение – это дедуктивный вывод, в котором все посылки являются дизъюнктивными (разделительными) суждениями. В традиционной логике схема такого вывода выглядит, например, так:

S есть А, либо В, либо С.

А есть либо А ₁ , либо А₂ .

S есть либо А ₁ , либо А ₂ , либо В, либо С.

Пример : «Предложения бывают простыми, либо сложными. Сложные предложения бывают либо сложносочинёнными, либо сложноподчинёнными. Следовательно, предложения бывают либо простыми, либо сложносочиненными, либо сложноподчинёнными». Каждое из простых суждений, составляющих разделительный вывод, называется альтернативой. Разделительное умолзаключение может состоять из любого числа альтернатив. Разделительные умозаключения являются достоверными выводами, если в их посылках соблюдены правила деления.

Разделительно-категорическое умозаключение – это вывод, в котором одна посылка является разделительным суждением, а другая – простым категорическим либо конъюнкцией. Этот вид умозаключений имеет два модуса.

Первый модус – утверждающе отрицающий (ponendo tollens). Его формулы: (( a v b) & a )→ ┐b ; ((a v b) & b)→ ┐a. Пример: «Люди бывают правдивыми, либо лживыми. Этот человек правдив, следовательно, он не солжёт». Для того, чтобы выводы по этим формулам были достоверными, необходимо, чтобы дизъюнкция в разделительной посылке была строгой. Если дизъюнкция будет соединительно-разделительной (как в нашем примере) , то утверждение одной из альтернатив не будет означать отрицания всех остальных.

Второй модус разделительно-категорического вывода – отрицающе-утверждающий (tollendo ponens). Его формулы: ((a v b) & ┐a)→b; ((a v b) & ┐b)→a. В качестве примера приведу отрывок из рассказа А. Конан Дойла «Пёстрая лента», где описывается страшное преступление – убийство девушки с помощью ядовитой змеи. Шерлок Холмс рассказывает доктору Уотсону: «Вначале я пришёл к совершенно неправильным выводам, мой дорогой Уотсон, - и это доказывает как опасно опираться на неточные данные. Присутствие цыган, слово «банда», сказанное несчастной девушкой, - всего этого было достаточно, чтобы навести меня на ложный след. Но когда мне стало ясно, что в комнату невозможно проникнуть ни через дверь, ни через окно, что не оттуда грозит опасность обитателю этой комнаты, я сразу понял свою ошибку и это может послужить мне оправданием. Как я уже говорил Вам, внимание моё сразу привлекли вентилятор и шнур от звонка, висящий над кроватью. Когда обнаружилось, что звонок фальшивый, а кровать прикреплена к полу, у меня сразу зародилось подозрение, что шнур служит лишь мостом, соединяющим вентилятор с кроватью. Мне сразу пришла мысль о змее, а зная, что доктор любит окружать себя всевозможными индийскими тварями, я понял, что, пожалуй, напал на верный след. Именно такому хитрому, жестокому злодею, прожившему много лет на Востоке, могло прийти в голову употребить яд, который нельзя обнаружить химическим путём».

Разделительно-категорический вывод, построенный знаменитым сыщиком, был таким: «Девушке грозила опасность проникновения в комнату либо через дверь, либо через окно, либо через вентилятор. В комнату невозможно проникнуть ни через дверь, ни через окно. Следовательно, в комнату проникли через вентилятор».

Обязательным условием для построения достоверного вывода в отрицающе-утверждающем модусе является соблюдение следующего правила: в разделительной посылке должны быть предусмотрены все возможные альтернативы, то есть деление должно быть полным. Характер дизъюнкции на достоверность вывода не влияет. Отрицающе-утверждающий модус очень часто применяется в мышлении, в частности на нём базируется возможность построения разделительного доказательства.

Условно-разделительное умозаключение – это такой дедуктивный вывод, в котором одна посылка состоит из двух или нескольких условных суждений, а другая посылка является разделительным суждением. В зависимости от числа альтернатив в разделительной посылке этот вывод может быть дилеммой (две альтернативы), трилеммой (три альтернативы), полилеммой (три или более альтернатив).

Дилемма – это условно-разделительное умозаключение, в котором первая посылка состоит из двух условных суждений, а вторая является дизъюнкцией, образованной из двух альтернатив. Дилеммы делятся на конструтивные и деструктивные. В свою очередь, и те, и другие подразделяются на простые и сложные.

В простой конструтивной дилемме в условной посылке утверждается, что из двух различных оснований вытекает одно и то же следствие. В дизъюнктивной посылке утверждается, что одно из этих оснований истинно. В заключении утверждается следствие. Формула этого вывода: ((a→b) & (c→b) & (a v c))→b. Пример: «Если руководитель коллектива откажется дать информацию по этому вопросу, то нанесет ущерб своему авторитету. Если руководитель коллектива даст ложную информацию по этому вопросу, то нанесёт ущерб своему авторитету. Руководитель коллектива откажется дать информацию или даст ложную информацию. Следовательно, его авторитет будет подорван». Дилеммы иногда называют выводами, в которых мы выбираем из двух зол меньшее. В средние века альтернативы лемматических выводов называли «рогами», какую бы альтернативу мы не выбрали, обе они равно приводят к непрятным следствиям и мы оказываемся на «рогах».

Сложная конструктивная дилемма отличается от простой только тем, что оба следствия её первой, условной посылки различны. Формула: ((a → b) & (c → d) & (a v c)) → (b v d). Вот сложная конструктивная дилемма из рассказа Л.Н.Толстого «Акула»: «Вдруг с палубы кто-то крикнул: «Акула!» - и все мы увидели в воде спину морского чудовища.» Артиллерист, отец одного из мальчиков, услышав их визг, «сорвался с места и побежал к пушкам. Он повернул хобот, прилёг к пушке, прицелился и взял фитиль. Мы все, сколько нас было на корабле, замерли от страха и ждали, что будет. Раздался выстрел, и мы увидели, что артиллерист упал подле пушки, и закрыл лицо руками..» Конструктивные дилеммы по своей структуре родственны утверждающему модусу условно-категорического силлогизма: утверждение оснований приводит к утверждению следствий.

В простой деструктивной дилемме первая (условная) посылка указывает на то, что из одного и того же основания вытекают два различных следствия. Во второй посылке содержится дизъюнкция отрицаний обоих этих следствий, в заключении отрицается основание. Формула этого вывода: (a → b) & (a → c) & ( ┐b v ┐c ) → ┐a. Пример: «Если мне повысят зарплату, то я устрою вечеринку с друзьями, а летом поеду отдыхать к морю. Но вечеринки с друзьми не будет, и к морю я тоже не поеду, следовательно, зарплату мне не повысили».

Сложная деструктивная дилемма отличается от простой только тем, что оба основания её различны, а в заключении содержится дизъюнкция отрицаний обоих оснований. Формула: ((a → b) & (c→d) & (┐ b v ┐d)) → ( ┐a v ┐c). Пример: «Если бы я был богат, то купил бы автомобиль, а если бы я был министром, то у меня была бы служебная машина. У меня нет личного автомобиля, либо нет служебного автомобиля. Следовательно, я не богат, либо я не министр». Деструктивные дилеммы родственны отрицающему модусу условно-категорического силлогизма: отрицание следствий приводит к отрицанию оснований.