Моделирование движения во вращающейся системе координат (учет

Моделирование движения во вращающейся системе координат (учет силы Кориолиса)[2]

Находясь на вращающейся с угловой скоростью ω горизонтальной платформе в некоторой точке с координатами А(х,у), бросают тело в некотором направлении со скоростью :

Найти траекторию тела относительно платформы при различных значениях

(х, у), и . Силу тяжести и силу трения не учитывать (кусок льда скользит по гладкой платформе).

Платформа является вращающейся, т.е. неинерциальной системой отсчета, и на тело действуют две силы инерции:

1) центробежная сила инерции , которая определяется расстоянием от оси вращения R: D = mw²R;

2) сила Кориолиса F_c, которая определяется относительной скоростью (т.е. скорость тела относительно неинерциальной системы) F_c = 2m (не путать! v ≠ωR).

Центробежная сила D направлена по радиусу от центра: ее составляющие:

Сила Кориолиса .

При вращении платформы в указанном направлении и F_c

направлена .

Составляющие силы Кориолиса:

Уравнения движения:

1) х=у=0; v=10 м/с; а=90°;

2) х=0; у=1м; v=10 м/с; а=90 °;

3) х=0; у=5м; v=20 м/с; а=-45 °;

rem Реализация в экранной форме [2]

rem с использованием методов

rem screen, circle, pset

pi=3.141596

m=1: rl=10:g=9.8

Rem Ввод: w, x, y, v, al

a1=a1*pi/180

t=0: t1=1e-3

vx=v*cos(al)

vy=v*sin(al)

screen 8

circle (300, 100), r1*20,3

met1: x=x+vx*t1: y=y+vy*tl: r=sqr(x*x+y*y)

d=m*w*w*r: dx=d*x/r: dy=d*y/r

fc=2*m*v*w: fcx=fc*vy/v: fcy=-fc*vx/v

vx=vx+(fcx+dx)*t1 /m

vy=vy+(fcy+dy) * t1 /m

v=sqr(vx*vx+vy*vy)

x1=x*20+300: y1=100-y*20*0.4

pset(x1,y1),4

if sqr(x*x+y*y)>rl then goto met2

goto met1

met2: end

rem Реализация в среде VBA

Sub platforma()

Dim pi As Single

Dim m As Single

Dim rl As Single

Dim w As Single

Dim x As Single

Dim у As Single

Dim v As Single

Dim al As Single

Dim t As Single

Dim dt As Single

Dim str As String

Dim vx As Single

Dim vy As Single

Dim i As Integer

pi = 3.141596: m=1: r1 = 10

str = InputВох("Введите угловую скорость w")

w = CSng(str)

str = InputВох("Введите координату x")

x = CSng(str)

str = InputВох("Введите координату у")

y = CSng(str)

str = InputВох("Введите скорость v")

v = CSng(str)

str = InputВох("Введите угол al")

a1 = CSng(str)

a1 = a1*pi/180

t = 0:dt = 0.005: i = 2

vx = v * Cos(al): vy = v * Sin(al)

met1: x = x + vx * dt: у = у + vy * dt

r = Sqr(x * x + у * у)

d = m*w*w*r 'сила инерции

dx = d*x/r:dy = d*y/r

fc = 2*m*v*w 'сила Кориолиса

fcx = fc * vy / v: fey = -fc * vx / v

vx = vx + (fcx + dx) * dt / m

vy = vy + (fey + dy) * dt / m

x = x + vx * dt: у = у + vy * dt

Worksheets(1).Cells(1, 1). Value = "x"

Worksheets(1).Cells(2, 2).Value = "y"

i = i+ 1

Worksheets(1).Cells(l, i).Formula = x

Worksheets(1).Cells(2, i).Formula = у

v = Sqr(vx * vx + vy * vy)

'x1 = x * 20 + 300: y1 = 100 - у * 20 * 0.4

Ifr>r1 Then GoTo met2

GoTo met1

met2:

End Sub

x -0 005 -0,01979 -0,04393 -0,07701 -0,11858 -0,16819 -0,2254

у 0,902375 0,809762 0,722676 0,641619 0,567077 0,499527 0,439437

Моделирование траекторий электронов[2]

А=2 мм;

τ=-4·10^-9Кл/м.

В плоскости М на расстоянии А друг от друга лежат две положительно заряженные тонкие проволоки с линейной плотностью заряда т в направлении, перпендикулярном к этой плоскости, с расстояния L приближается электрон с начальной скоростью v. Какие возможные траектории он создает при различных v, τ, р(прицельное расстояние)?

Алгоритм

Помещаем начало координат в середине между проволоками 1 и 2. Выбираем исходную точку а при х>0 и, пользуясь формулой

напряженности и принципом суперпозиции, ищем силы, действующие на электроны, и их проекции.

Составляем уравнение движения.

Исходим из требования, что время пролета - приращения

времени.

; сила F = Eq

Для нахождения проекций имеем пропорции:

Рекомендации: p~0,6 мм;

Vx*107m/c.

Расстояние L, равное А, будет пройдено и за ≈10^-9 с, откуда следует, что с.

rem Реализация в экранной форме (среда VB)[2]

rem методы line, circle, pset

Sub Траектории()

Dim A As Single

Dim L As Single

Dim Pi As Single

Dim tan As Single

Dim q As Single

Dim e0 As Single

Dim p0 As Single

Dim m As Single

Pi=3.141596

q=-1.6E-19: e0=8.85E-12: m=9.1E-31

dt=2E-11: k=5E3: p0=2E-3

for p=p0 to 10*p0 step p0

vx=1E-7: vy=0: x=-L: y=p

Line(0,150)-(400,150),3

Circle(L*k,150-A/2*k*0.3),2,3

Circle(L*k, 150+A/2*k*0.3),2,3

For t=0 to 5E-8 step dt

r1=Sqr(x*x+(A/2+y)^{^}2)

r1=Sqr(x*x+(A/2-y)^{^}2)

z=tau*q/(2*pi*e0): f1=z/r1: f2=z/r2

G=f1*x/r1: f4=n*(A/2+y)/r1

f5=f2*x/r2: f6=f2*(A/2+y)/r2

wx=(D+f5)m: wy=(f4-f6)/m

vx=vx+wx*dt: vy=vy+wy*dt

x=x+vx*dt: y=y+vy*dt

xe=(x+L)*k: ye=150-y*k*0.3

if xe<0 then goto kon

if xe>500 then goto kon

if ye<0 then goto kon

if ye>500 then goto kon

Pset (xe, ye), 4

next t

kon: next p

end Sub ' Траектория

Моделирование магнитного поля[2]

Напряженность магнитного поля , создаваемая током в точке А на

расстоянии от по закону Био-Савара-Лапласа:

, где направление по правилу правого

винта. Магнитное поле витка. Найдите напряженность магнитного поля плоского витка радиусом R с силой тока I=1 А в центре и на расстоянии а от центра в плоскости витка.

Указание: свести выражение для dH к одной переменной φ, проинтегрировать от φ=0 до π и удвоить результат. Предусмотреть переход к новой точке А (пройти от а=0 до a=R).

Из рис. ;

Все слагаемые dH имеют одно направление

В программе φ=f.

Ответ: график.

rem VB - реализация[2]

Sub МПВитка()

j=l : r=1 : df=0.2 : pi=3.141596

for a=-2.4 to 2.4 step 0.0031

f=0: call funk

y1=y: f=pi: call funk

y2=y: s=(y1+y2)/2

for f=df to pi-df step df

call funk

s=s+y

next f

h=j*r*s*df/(2*pi): if ABS(h*20)>1E3 then goto m1

rem {рисовать}

m1: next a

end Sub

Function funk()

funk:y=(r-a*cos(f))/sqr((r^2+a^2-2*r*a*cos(f))^{^}3)

end function

rem Реализация в среде VBA

Dim j As Single

Dim r As Single

Dim f As Single

Dim df As Single

Dim pi As Single

Dim a As Single

Dim yl As Single

Dim y2 As Single

Dim у As Single

Dim s As Single

Dim h As Single

Dim n As Integer

Sub МП_витка()

n = 3

j = 1: r= 1: df = 0.2: pi = 3.14159

Worksheets(l).Cells(l, 2).Formula = "a"

Worksheets(l).Cells(2, 3).Formula = "s"

For a = -2.5 To 2.4 Step 0.003

f = 0: Call funk

y1 = y: f = pi: Call funk

y2=y:s = (y1+y2)/2

For f=df To pi-df Step df

Call funk

s = s + y

Nextf

h=j*r*s*df/(2*pi)

If Abs(h * 20) > 1000# Then GoTo metka

Worksheets(1).Cells(n, 2).Formula = a

Worksheets(1).Cells(n, 3).Formula = s

n = n+ 1

metka: Next a

End Sub

Function funk()

у = (r - a * Cos(f)) / Sqr((r ^{^}2 + a^{^}2-2*r*a* Cos(f))^3)

End Function

A s

-2,5	-0,31745
-2,497	-0,31883
-2,494	-0,32022
-2,491	-0,32162
-2,488	-0,32303
-2,485	-0,32445
-2,482	-0,32587
-2,479	-0,3273
-2,476	-0,32874
-2,473	-0,33019
-2,47	-0,33165

-2,467 -0,33311

-2,464 -0,33458

-2,461 -0,33607

-2,458 -0,33756

-2,455 -0,33905

-2,452 -0,34056

-2,449 -0,34208

-2,446 -0,3436

-2,443 -0,34513

-2,44 -0,34668

-2,437 -0,34823

-2,434 -0,34979

-2,431 -0,35136

-2,428 -0,35293

-2,425 -0,35452

-2,422 -0,35612

-2,419 -0,35772

-2,416 -0,35934

-2,413 -0,36096

-2,41 -0,3626

Геометрическая оптика[2]

Каково расстояние от наблюдателя до оазиса в пустыне, если путник утром видит в небе мираж под углом 10° к горизонту, а показатель преломления из-за сильного охлаждения поверхности пустыни за ночь убывает с высотой z по закону:

n=n₀-kz, где n₀=1,0004, к=2-10^-5 м^-1.

Нужно написать соотношение для перехода от слоя к слою и найти А1 (переход к 1) суммированием, делая маленький шаг .

Так как показатель преломления убывает с высотой, то луч, переходя в следующий слой, все больше отклоняется от вертикали ( к границе раздела).

l=19*10³м при

rem Реализация [2]

rem Так же и в среде VBA

Sub Мираж()

Pi=3.141596

for u=5 to 15 step 5

а= cos (u*Pi/180): h=1E-02: n=1.0004

x=0: z=0

m1: z=z+h

x =x +abs (h*a/sqr (1-a*a))

nl=n: n=n1+0.0004*exp (-0.05*z))

a1=a: a=a1*n1/n

if a<1 then goto m2

a=a1: h=-h

m2: if z>0 then goto m1

print u, x

next u

end sub

Справка: _________________________________

или

Задачи квантовой механики. Атом водорода. Ядро[2]

Поведение микрочастиц определяется волновой функцией ψ, которая определяется уравнением Шредингера:

(2.1)

Если существуют стационарные решения, то есть такие состояния, в которых энергия имеет определенные, не зависящие от времени значения,

то правая часть (2.1) может быть записана в виде , где Е -собственные значения энергии.

Если уравнение (2.1) рассматривать в одномерном случае, то оно примет вид:

(2.2)

(2.3)

Если задан потенциальный рельеф, то есть функция U(x), то задача нахождения стационарных состояний сводится к нахождению таких функций ψ(x), которые удовлетворяют условию (2.3), то есть дифференциальному уравнению. При этом должны соблюдаться граничные условия: при переходе из области с одним значением U(x) к области с другим U(x) функция ψ(х) должна быть непрерывна вместе с её первой производной .

Очевидно, что это может быть выполнено только для определённых значений энергии Е - эти значения и соответствующие функции у/(х) называются собственными. Должно также выполняться условие

нормировки: .

Длины волн линий излучения атома водорода определяются по формуле:

,где постоянная Ридберга

R=1,097373-10^-7м^-1

n=1, 2, 3, ...

m=n+1, n+2, n+3, ...

Рассеяние а-частиц[2]

Задача: α-частицы с энергией 4 МэВ рассеиваются тонкой золотой фольгой. Нарисовать траектории частиц, приближающихся к ядру Аи. Прицельное расстояние р=2*10^{-15 м. На какие углы}рассеиваются частицы и как зависит этот угол от прицельного расстояния p?

В основу решения уравнений движения берутся уравнения движения по осям x и у-в них входят составляющие силы Кулона. Если , то

верно при больших |x| и |y|(по сравнению с расстоянием аи прицельным р).

Сила Кулона - сила отталкивания. Масса ядра Au (197 а.е.т.)>>массы а-частицы (4 а.е.т.=4*1,66*^10-27кг),поэтому будем считать ядро неподвижным.

Из рисунка:

Уравнения движения по осям:

Начальные условия при t=0: x=-a; y=p; v_y₀=0.

Скорость v_x находим из соотношения: , где T₀=4 МэВ →

Соотношения для программирования:

Расстояние а следует брать >> p (частица летит издалека, - а=10^{-11 м).}

Далее, при скоростях порядка 10⁷ - и расстояниях порядка 10^{-15 м} время

составляет около 10^-22 с, значит приращение с (не менее 100 шагов).

rem Вариант программы[2] без блока визуализации:

Sub Alpha()' рассеяние а-частиц

pi=3.14: q1=2*1.6E-19: q2=79*1.6E-19: m=4*1.67e-27

e0=8.8E-12 : a=4E-13 : p0=5E-15 : k=4E6*1.6E-19

v0=sqr(2*k/m): fl=ql/E0*q2/4/pi

dt=5E-23

for p=p0 to 40*p0 step 2*p0

x=0 : y=p : vx=v0 : vy=0

met2 :r2=(а-х)^2+у^2 : r=sqr(r2)

fx=-f1/r2*(a-x)/r : fy=f1/r2*y/r

vx=vx+fx*dt/m : vy=vy+fy*dt/m

x=x+vx*dt: y=y+vy*dt

x=x+vx"*dt : уе=170-у*1Е15*0.4 ' масштабировать

хе=х*1Е15 : ye=170-*1e15*0.4

x, у ' - запомнить для построения графика

next р

end sub

rem Полный вариант программы моделирования рассеяния

rem альфа-частиц в среде VBA:

Sub Z8()

n2 = 65

nЗ = 65

i1 = 1

pi = 3.14

ql = 2 * 1.6Е-19

q2 = 79* 1.6E-19

m = 4* 1.67E-27

E0 = 0.00000000000885

a = 0.0000000000004

p0 = 0.000000000000005

k = 4000000# * 1.6E-19

V0 = Sqr(2*k/m)

f1 = q1 / E0 * q2 / 4 / pi

dt = 5E-23

io = 1

Charts.Add

ActiveChart.ChartType = x1XYScatterSmoothNoMarkers

For p = p0 To 20 * p0 Step 2 * p0

n= 1

x = -a

y = p

Vx = V0

Vy = 0

m1:

r2 = (а-х)^2 + у^2

r = Sqr(r2)

fx = -f1 / r2 * (a - x) / r

fy = f1/r2*y/r

Vx = Vx + fx * dt / m

Vy = Vy + fy * dt / m

x = x + Vx * dt

у = у + Vy * dt

Worksheets(2).Cells(n, i1).Value = x

Worksheets(2).Cells(n, i1 + 1).Value = y

n = n+ 1

If (x > -a) And (y < a) Then GoTo ml

ActiveChart.SeriesCollection.NewSeries

If(io< 14) Then GoTo m2

ActiveChart.SeriesCollection(io).XValues = Worksheets(2).Range("A" +

Chr(n3) + "1 :A" + Chr(n3) + CStr(n))

ActiveChart.SeriesCollection(io).Values = Worksheets(2).Range("A" +

Chr(n3+ 1) + "1 :A" + Chr(n3 + 1) + CStr(n))

n3 = n3 + 2

GoTo m3

m2:

ActiveChart.SeriesCollection(io).XValues = Worksheets(2).Range(Chr(n2) + ^“1:" + Chr(n2) + CStr(n))

ActiveChart.SeriesCollection(io).Values = Worksheets(2).Range(Chr(n2 + 1) + "1:"+Chr(n2+ l) + CStr(n))

n2 = n2 + 2

m3:

io = io + 1

i1 =i1 +2

Next p

End Sub

Моделирование закономерностей теплового излучения[2]

Спектральная плотность излучения, т.е. энергия, излучаемая с площади 1 м² за 1 с в пределах узкого интервала длин волн от λдо , отнесенная к этому интервалу dλ, равна

Согласно Планку:

ng w:val="EN-US" w:fareast="RU"/></w:rPr><m:t>rtО»</m:t></m:r></m:den></m:f></m:e></m:d><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:color w:val="000000"/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/><w:lang w:val="EN-US" w:fareast="RU"/></w:rPr><m:t>-1</m:t></m:r></m:den></m:f></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

В системе СИ:

с = 3-10^-8 , А = 6,62-10^-34 Дж-с, k = 1,38-10^-23

Закон Стефана-Больцмана для общей энергии теплового излучения с

единицы площади в единицу времени имеет вид:

,где

- постоянная Стефана-Больцмана.

Закон Вина для длины волны, соответствующей максимуму излучения:

1. Построение кривой Планка.

Постройте график r(λ), если значение λ изменяется от 0 до 10 мкм при температуре 1000 К; 2000 К.

В системе СИ:

2. Закон Стефана-Больцмана.

Зная r(λ,t), определить энергию, излучаемую абсолютно черным телом с площади 1 м² за 1 с, в видимом диапазоне (от λ=0,38 до 0,78 мкм) и в инфракрасном диапазоне (от λ=0,78 до ∞) при Т=1000 К; 2000 К. для проверки правильности работы программы найти также интегральную энергетическую светимость, т.е.

Определить, выполняется ли закон Стефана-Больцмана.

Задача сводится к вычислению определенного интеграла:

Получим:

– в видимой области

Всего во всем диапазоне длин волн:

- вся энергия излучается в основном в инфракрасном диапазоне.

При вычислениях:

Видно, что R(2000)≈16∙R(1000), чтосоответствует закону Стефана-Больцмана.

Эту задачу легко реализовать в пакете MatLab:

Для вычисления интеграла напишем m-сценарий (m-файл):

- файл quadf.m

Шаг no x, у

>>quadf.m;

>>y=quadf(x);

>>plot (x,y);

>>Q=quad('quadf, a, b)

Экспериментальная проверка закона Стефана-Больцмана:

Потребляемая лампой накаливания мощность (следовательно, излучаемая мощность) P=RS (S - площадь) измеряется амперметром и вольтметром, а температура нити - оптическим пирометром. Излучающая площадь нити накаливания S=l см². При различных значениях тока получаем значения температуры и мощности: