Логарифмическая функция, ее свойства и график.

Определение: Функцию заданную формулой называют логарифмической функцией с основанием а.

Графики показательной и логарифмической функций, имеющих одинаковое основание, симметричны относительно прямой y=x.

Свойства логарифмической функции

1) D(f) = (0; +∞)

2) Е(f) = R

3) При a>1 функция возрастает на D(f)

При 0< a<1 функция убывает на D(f)

Решение логарифмических уравнений и неравенств, приводимых к виду:

Определение:Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим.

Решение логарифмического уравнения вида основано на том, что такое уравнение равносильно уравнению при дополнительных условиях

Переход от логарифмического уравнения к уравнению иногда приводит к появлению посторонних корней. Такие корни можно выявить с помощью подстановки найденных корней в исходное логарифмическое уравнение или с помощью нахождения области определения исходного уравнения (эта область задается системой неравенств .

Примеры:

1. данное уравнение равносильно уравнению

по определению логарифма)

Проверяем выполнимость условия

Значение удовлетворяет условию.

Ответ

2.

Данное уравнение сводится к уравнению

Проведем преобразования:

Решим квадратное уравнение.

Проверим выполнимость условий:

условию не удовлетворяет

посторонний корень

условию удовлетворяет

Ответ:

3.

Воспользуемся свойством логарифмов:

Получим

Равны логарифмы, равны основания тогда

Приведем к общему знаменателю

Проверка

посторонний корень.

Ответ: решений нет.

4.

Воспользуемся свойством логарифмов

Получим

Равны логарифмы, равны основания тогда

Проверка

Условие выполняется.

Условие не выполняется.

Ответ

5.

Это логарифмическое уравнение, приводимое к квадратному.

Пусть получим уравнение

приведем к общему знаменателю, получим

решаем уравнение

Получили

Ответ

Определение: Неравенство, содержащее переменную только под знаком логарифма, называется логарифмическим.

Неравенства вида при являются логарифмическими.

1. Неравенство равносильно:

- системе при ;

- системе при .

2. При решении логарифмических неравенств следует учитывать общие свойства неравенств: свойство монотонности логарифмической функции и область ее определения.

Рассмотрим решение некоторых неравенств:

1.

0< <1

Логарифмическая функция с основанием определена и убывает на следовательно, неравенству удовлетворяют, такие числа x, для которых выполнено условие

/ : (-2) (знаки неравенства меняем)

Ответ: x (– 2; 2, 25)

2.

Логарифмическая функция с основанием определена и возрастает на

Следовательно, неравенству удовлетворяют, такие числа x для которых выполнено условие

Ответ