Матричная форма записи уравнений установившегося режима

Уравнения установившегося режима в форме баланса токов:

, (1)

где - напряжение в рассматриваемом i – м узле и напряжения в смежных узлах j . Это неизвестные величины;

y_ij – взаимная проводимость узлов

;

y_ij – собственная проводимость i – го узла

(2)

у_і0

- поперечная проводимость участков подходящих к i – у узлу:

(3)

Поперечные проводимости транс- Поперечная проводимость

формирующих участков линии

y_i0 – собственная проводимость устройств, подключенных непосредст-венно в i – м узле;

- заданные мощность или ток.

Уравнение (1) сформировано на основе метода узловых потенциалов, за-писано для одного і – го узла сети. Для схемы, состоящий из n узлов записы-вается n таких уравнений с n комплексными неизвестными.

Запишем систему уравнений вида (1) для абстрактной схемы электрической сети, состоящей из n узлов:

(4)

Эта система уравнений описывает режим роботы ЭС в целом. Запишем эту систему в матричной форме:

(5)

С учетом обозначений система (5) примет вид:

. (6)

Здесь Y – матрица коэффициентов при неизвестных – матрица собственных

и взаимных проводимостей (матрица проводимостей);

- вектор неизвестных – вектор напряжений;

D – диагональная матрица, на главной диагонали которой расположены

величины, обратные сопряженному комплексу напряжений в узлах.

Остальные элементы матрицы - нули;

- вектор сопряженных комплексов заданных мощностей в узлах;

- вектор заданных токов в узлах.

Матрица собственных и взаимных проводимостей Y

Ее элементами являются проводимости узлов и участков. На главной диа-гонали расположены собственные проводимости узлов, определяемые по фор-муле (2). Вне главной диагонали - взаимные проводимости узлов, взятые с об-ратным знаком. Матрица квадратная, симметричная.

Если узлы сети соединены между собой, то их взаимная проводимость отлична от нуля ( Y_ij = 1/Z_ij). Если узлы между собой не связаны, то Y_ij = 0.

Т.к. реальные сети имеют большое количество узлов, а каждый узел имеет не-большое число связей с другими узлами (до 10), то строки матрицы и матрица в целом содержат большое количество нулевых элементов (матрица слабоза-полненная или разреженная).

Каждая строка матрицы соответствует одному узлу сети и его связям.

По структуре матрицы проводимостей можно определить схему сети и ее параметры. То есть матрица проводимостей представляет собой модель схемы электрической сети.

Пример: Дана матрица проводимостей. По её структуре определим схему

сети:

Уравнения (5) и (6) представляют собой математическую модель режи-ма работы ЭС в общем виде.

Лекция 9

Свойства матрицы проводимости:

1. При отсутствии в сети трансформаторов с комплексными коэффициен-тами трансформации, матрица является симметричной, то есть выполняется принцип взаимности Y_ij = Y_ji ;

2. Матрица является слабозаполненной, так как содержит большое коли-чество нулевых элементов. Причина - если узлы не связаны между собой, то их взаимная проводимость равна нулю (y_ij = 0), а в реальных сетях каждый узел связан с небольшим числом узлов;

Свойства 1 и 2 используются для компактного хранения матрицы проводимостей в памяти ЭВМ (хранятся только ненулевые элементы и их координаты). Количество собственных проводимостей равно количеству узлов в сети, количество взаимных проводимостей равно числу ветвей ( с учетом симметричности матрицы).

3. Матрица проводимостей неособенная, то есть её определитель , следовательно она имеет обратную матрицу.

Пример: Составить матрицу проводимостей для схемы

Собственные проводимости узлов схемы:

В памяти ЭВМ запоминается верхняя половина матрицы (её ненулевые элементы).

Система уравнений (4) – это система уравнений узловых напряжений в форме баланса токов, записана для всех узлов сети и содержит n уравнений относительно n неизвестных напряжений в узлах. В таком виде она не может дать искомое решение для всех комплексных напряжений, так как:

1. Если является решением ( i= 1 … n ) системы уравнений, то тоже является решением, так как это соответствует пово-роту всех векторов напряжения на угол . Множитель входит во все решения и может быть сокращен. Задавая разные значения можем получить множество решений системы уравнений;

2. Если в узлах не задать (не зафиксировать) ни од-ного напряжения, то можно получить решение, не имею-щее практического смысла (например, отрицательные напряжения в узлах, либо напряжения не соответствую-щие своему классу напряжений и т. д.). При этом баланс токов в узлах будет соблюдаться.

Решение этой проблемы: в сети выбирают один (или несколько) узлов, в которых фиксируют модуль и угол напряжения. Это узлы с фиксацией векто-ра напряжения (ФВ). Такие узлы называются базисными или опорными по напряжению = const. В сети должен быть хотя бы один такой узел. Во всех остальных узлах схемы напряжения рассчитывается относи-тельно опорного. В схеме им соответствуют, как правило шины электростан-ций или мощных подстанций. Как правило опорный узел по напряжению сов-падает с балансирующим по мощности. Для упрощения расчетов часто задают .

Задание в некоторых узлах сети векторов напряжения, т.е. выделение в схеме сети опорных узлов с ФВ (которые совпадают с балансирующими) приводит к уменьшению числа неизвестных в системе уравнений (4) и необхо-димости исключения из неё уравнений, соответствующих этим узлам (т.к. уменьшается число неизвестных напряжений).

Пример:

Запишем для схемы систему уравнений вида (4):

Система уравнений в матричной форме:

В качестве спорного узла выберем узел 4. Напряжение в нём задано. Нужно исключить из системы уравнение, соответствующее опорному узлу – уравнение 4. Это соответствует четвёртой строке в матрице и в вектор – столб-це. В матрице выделим столбец и строку, соответствующие опорному узлу – номер 4 – они содержат его взаимные проводимости с другими узлами схемы.

В матрице и векторах выделяются блоки и субвектора:

Y_iОП – вектор – столбец взаимных проводимостей между узлами сети и опорным узлом;

Y_ОПj – вектор – строка взаимных проводимостей между опорным узлом и другими узлами сети;

Y – неполная матрица проводимостей, получаемая из полной удалением строк и столбцов соответствующих опорным узлам;

Y_ОПОП – собственная проводимость опорного узла;

- заданные напряжения в опорных узлах и токи в них;

- вектор искомых напряжений в узлах сети;

- вектор заданных токов в узлах сети.

С учётом этого в блочной форме система уравнений может быть записана:

.

Удаляем элементы (блоки), соответствующие уравнениям опорных узлов - Y_ОПj, Y_ОПОП, I_ОП. Тогда по правилам умножения блочных матриц получаем:

.

Переносим известные величины в правую часть:

.

Это система уравнений установившегося режима в матричной форме.

Это уравнения в виде баланса токов. Линейные уравнения.

В результате преобразований можно получить другой вид этой системы урав-нений:

.

При задании в узлах сети нелинейных источников тока (генераторы или нагрузки с постоянной мощностью), установившийся режим описывается нели-нейными уравнениями:

Эти уравнения – нелинейные уравнения установившегося режима в форме баланса тока. При задании в узлах нелинейных источников тока установив-шийся режим сети можно описать, также, нелинейными уравнениями в форме баланса мощности.

В результате преобразований уравнения баланса мощности в матричной форме будут иметь вид:

.

Здесь - диагональная матрица, на главной диагонали которой рас-

положены сопряженные комплексы напряжений;

S - заданные мощности в узлах.

Лекция 10

Пример1:

В качестве опорного узла выбираем узел 1, т.е. напряжение задано. Нужно опреде-лить . Запишем систему уравне-ний форме:

Составляем уравнения установившегося режима для всех узлов сети:

Первое уравнение исключаем, переносим элементы, содержащие заданное напряжение U₁ опорного узла в правую часть:

Получаем систему из трёх линейных уравнений относительно 3-х неиз-вестных напряжений . В её правой части – известные величины.

В матричной форме она имеет вид:

Пример 2:

Составить систему линейных уравнений в форме баланса токов для задан-ной схемы.

Записать матрицу проводимостей, вектор неизвестных и вектор свободных

членов.

Неизвестны – напряжения

U_i = ? , i = 2…7.

| y₂₂ 0 0 0 0 0 | U₂ I₂ + y₂₁U₁

| 0 y₃₃ -y₃₄ 0 -y₃₆ 0 | U₃ I₃ + y₃₁U₁

| 0 -y₄₃ y₄₄ -y₄₅ 0 0 | U₄ I₄

Y = | 0 0 -y₅₄ y₅₅ 0 0 | ; U = U₅ ; I = I₅ .

| 0 -y₆₃ 0 0 y₆₆ -y₆₇ | U₆ I₆

| 0 0 0 0 -y₇₆ y₇₇ | U₇ I₇

Пример 3:

Составить систему уравнений в форме баланса мощностей.

Сначала составим полную систему уравнений в форме баланса токов. Представим токи в узлах в виде:

Умножим обе части каждого уравнения на сопряженный комплекс соот-ветствующего напряжения U_i:

Получили систему нелинейных уравнений в форме баланса мощности. Неизвестными в ней является напряжения в узлах.